D, CA ZI CA) = DA EIU GE) D + IU,(4,.,) — U,(A

D'après un théorème de Caucay, cela prouve que la suite CHAR CDERS est convergente.

18. 3° LEMME. — Pour que des opérations continues dans un même ensemble extrémal Æ forment une famille compacte dj il faut qu’elles soient également continues et bornées dans leur ensemble.

Si ces opérations n’étaient pas bornées dans leur ensemble, il y en aufait une: U, quel que soit #, dont la valeur absolue serait supérieure à # en quelque élément AATCRP:

Puisque la famille Jf est compacte, on peut supposer que U, U,, ... convergent uniformément vers une opération U continue dans Æ, et que U,(4,) tend encore vers l'infini. Alors on aura

LACAIPALACRESNCN ESC

Lorsque # croît indéfiniment, le premier terme du second membre tend vers zéro; le second reste fini puisque U est une opération continue dans un ensemble extrémal (n° 11). Il est donc impossible que le premier membre croîsse indéfiniment.

De même, si les opérations de ff n'étaient pas également continues, on pourrait trouver une suite d'éléments de E: 4, 4,,..., tendant vers un élément À de E, et un nombre € tels que, quel que soit », il existe une opération de ff: U, et un entier p, > n pour lesquels:

Comme la famille ff est compacte, on peut dire en somme qu’il existe une suite d'éléments de E: 4’, 4°, ... tendant vers un élément 4 de E, et une suite d’opérations de ff: U’, U', ... qui convergent uniformément vers une opération U, de façon que l’on ait:

[U,(4) — VU, > 8 (I suffit d’extraire convenablement ces deux suites des suites 4, , 4,,, … et U,, U,, ….).

Mais alors:

BOT AIUG EU, A) PI, = URI TE) et, prenant # assez grand, on voit comme précédemment qu’on pourra rendre le second membre inférieur à &, d’où la contradiction annoncée.

Afin d’arriver au théorème général, j’énoncerai une dernière proposition qui est

démontrée plus loin sous une autre forme (n° 66). Si lon considère pour chaque valeur entière de », une suite infinie S, de nombres x x, ... x, ..., compris pour chaque valeur de p, quel que soit », entre deux nombres fixes À, et p,, on peut Éstraire de Hisuite 52,0 USA eue d'indices croissants tels que xÿ tende vers une limite x,, quel que soit le nombre fixe p quand », croit indéfiniment.

19. Nous sommes maintenant en mesure d’énoncer le théorème général suivant:

THÉORÈME. — Pour que des opérations continues dans un même ensemble extrémal E formé d’éléments d’une classe (L), qui appartiennent à un même ensemble dénombrable

14 MAURICE FRÉCHET.

D ou à son dérivé D', forment une famille compacte ff, il faut et il suffit que les opérations de É soient également continues et bornées dans leur ensemble en tout élément de E.

La condition est nécessaire d’après le dernier Lemme. Pour démontrer qu’elle est suffisante, il suffit de démontrer que, de toute suite infinie d'opérations de gf : U,, U,, ... on peut extraire une suite qui converge uniformément dans Ë vers une opération qui sera nécessairement continue dans. E.

En effet, appelons 4, 4,, ... la suite des éléments de l’ensemble dénombrable D et considérons la suite S, des nombres x U,(4); SU) Puisque les opérations de ff sont bornées dans leur ensemble en tout élément de D, ces nombres x} sont, pour chaque valeur de p, compris, quel que soit #, entre deux nombres fixes À, et p,. D’après la dernière proposition que nous avons rappelée, on pourra donc extraire de la suite S,, S,, ... une suite S,,, S,,, . . d'indices croissants, telle que x%4 — U,,(4,) converge vers une certaine limite x, et cela quel que soit p. Cela veut dire qu’on peut extraire de la suite U,, U,, ... une suite d'opérations U,,, U,,, ..., U,, D’après le deuxième Lemme, cette suite d'opérations sera aussi convergente en tout

convergente en tout élément de D.

élément de E; d’après le premier Lemme la convergence sera uniforme, et par suite la limite continue dans E.

1ère REMARQUE. — Si l’on ne suppose plus que l’ensemble E est extrémal, la démonstration précédente prouve encore quelque chose. Elle prouve que si les opérations de sont également continues et bornées dans leur ensemble en tout élément de E = D + D, on pourra extraire de toute infinité d’opérations de ff une suite qui tend vers une opération continue dans Æ. Mais on ne saura pas si la convergence est uniforme. D’ailleurs, on peut citer des exemples où, dans ces conditions, la convergence est non uniforme. Elle sera toujours uniforme dans tout ensemble extrémal contenu dans E.

2m REMARQUE. — Il pourrait sembler que la condition E = D + D", où D est dénombrable, est une condition introduite artificiellement dans le seul but d’assurer l'exactitude du résultat. Nous verrons plus loin que c’est au contraire le cas général qui se présente dans les applications (n°® 45, 52).

20. L'opération limite supérieure d'un ensemble d'opérations. — Considérons une famille d'opérations uniformes dans un ensemble ÆE. En chaque élément 4 de E, nous pouvons définir un nombre L(4) qui soit la limite supérieure des valeurs en À des opérations de ff. Si les opérations de ff sont bornées dans leur ensemble en tout élément de E, nous déterminerons ainsi une opération uniforme dans E, que nous appellerons la limite supérieure de ff.

THÉORÈME. — Étant donnée une famille J d'opérations bornées dans leur ensemble et également continues dans un ensemble quelconque E, la limite supérieure de $ est une opération continue dans E.

Ce théorème a été démontré par M. ARZELA (v, page 9) dans le cas où les éléments sont des points d’une droite. Sa démonstration se généralise immédiatement au cas actuel en se souvenant que notre définition de la continuité rend inutile l’emploi des intervalles.

21. REMARQUE. — Nous avons vu dans ce qui précède comment on peut arriver à généraliser certains théorèmes connus dans les classes si étendues que nous avons appelées classes (L). Néanmoins le petit nombre des hypothèses que nous avons faites sur les classes (L) ne nous permettra pas de poursuivre cette extension. On s'aperçoit bien vite que certaines propositions fondamentales de la théorie des ensembles linéaires et des fonctions continues, dont l’énonc£ mis sous forme convenable peut garder un sens pour les classes (L), que ces’ propositions, dis-je, ne sont plus vraies pour toute classe (L). Par là-même échoue toute tentative de généralisation des propositions ultérieures auxquelles elles servent de base.

Les ensembles dérivés.

22. Nous donnerons en exemple l’une des plus importantes d’entre elles: lensemble dérivé d’un ensemble linéaire est fermé. Cette proposition est elle applicable à des ensembles d’éléments d’une classe (L) quelconque? La réponse est négative.

Considérons en effet la classe (C) des fonctions d’une variable x définies dans un intervalle fixe J:0 97 x ,7 1 et convenons de dire qu’une suite de telles fonctions: f,(x), f,(x), ... tend vers une fonction f(x) si, pour chaque valeur x de l'intervalle J, f, (x) a une limite finie f(x). Cette définition satisfait bien aux conditions I et IL du n° 7. Donc cette classe (C) est une classe (Z). Cependant l’ensemble dérivé d’un ensemble quelconque d’éléments de la classe (C) n’est pas nécessairement fermé.

*) Il suffit de considérer l’ensemble E des fonctions continues dans J. L'ensemble E” des fonctions limites de fonctions continues est l’ensemble des fonctions de classes o ou 1 au sens de M. BAIRE {r, page 126). Or on sait qu'il y a des fonctions de classe 2 (même citation), c’est-à-dire qu'il y a des fonctions limites de fonctions de E”? et n’appartenant pas à P7.

23. Limites de fonctions limites, — Nous nous écarterons un moment de notre sujet pour signaler une proposition à laquelle exemple précédent donne un certain intérêt.

Considérons un ensemble de fonctions ff) (x) définies dans l'intervalle J et telles que: 1° la suite:

AGAIN A ait une limite déterminée f,(x) et ceci quel que soit #; 2° Ia suite:

HG) Q) 2,

ait une limite déterminée f(x).

D’après ce qui précède, il ne sera pas toujours possible de trouver deux suites d’entiers #,, B3 ee) Pis P2, --. telles que l'on ait: f(x) — lim fifr) (x). T—=® Cette remarque justifie l'intérêt qui s'attache au théorème suivant :

THÉORÈME. — Considérons des fonctions f(x), f, (x), f(x) définies dans un même intervalle J, quels que soient les entiers n, p et telles que:

@) 1G) = lin f, GG) = lim fi S'il est en général impossible de choisir des entiers n,, p, tels que l'égalité f(x) = lim fl? (x) 7=x 7 soit vérifiée en tout point de ], du moins est-il toujours possible de les déterminer de façon que cetle égalité soit vérifiée en tout point de ] sauf en un ensemble de points de mesure nulle *).

+) Dans la PREMIÈRE PARTIE, les sujets qui exigent des connaissances un peu spéciales sont imprimés en petits caractères.

**) Voir pour la signification de cette expression: …1, page 16.

16 MAURICE FRÉCHET.

Pour le démontrer, je m’appuierai sur deux remarques préliminaires : 1° Supposons pour simplifier que l'intervalle / soit l'intervalle (0, 1): Si on considère une suite d’ensembles de points de J: E,, Et. ayahtiDoutimeNures 7, Mel l’ensemble des points communs à tous ces ensembles a une mesure au moins égale à 1 — (m, + m, + ...). 2° M. BoREL a démontré (I, page 37) que, quel que soit le nombre fixe € >> 0, l’ensemble de points où le reste de rang # d’une série convergente de fonctions de x dans J est en valeur absolue plus grand que €, est un ensemble dont la

mesure tend vers zéro avec —

Soient alors & et « deux nombres quelconques compris entre © et 1; on peut trouver un entier g tel que la mesure de l’ensemble de points où —SI< = soit supérieure à I + pour n>>q—1I. Puis, on pourra trouver, g étant fixé, un nombre r tel que la mesure de l’ensemble des points où er) <— soit aussi supérieure à 1 — —. En tout point commun aux deux ensembles précé-

dents, on aura dm <& et l’ensemble de ces points communs a une mesure au moins égale à

ble) (} : LE 9 I — (— + — 1 — 6. Il en est donc de même a fortiori de l’ensemble des points tels que 2 2 = AI] € |f j; | LUE.

Ceci étant, donnons à € et &« deux suites successives de valeurs €,, €,, ...; 6,, 6,, ... Quel

que soit r, on pourra déterminer des entiers #,, p, tels que l’ensemble G, des points où l’on a f—fhr| Le, ait une mesure supérieure à 1 — 6,. Appelons maintenant H, l’ensemble des points "y ra F 7

Commun SC re C2 en Gr re O4 unesure EstNau moins Celle Arc -Eic r ET) ; . CRE { É ) . , .

et en chacun de ses points on à |f fe |<E,,4, quel que soit l'entier g.

e, tendent en décroissant vers zéro et que la série &, Æ &, + … soit convergente. Par exemple, admet-

Con

quel que soit g, donc en tout point de H, la suite pri, Fo .. converge vers f. Dès lors, l’ensemble

H des points où cette suite converge a une mesure au moins égale à celle de H, quel que soit r,

; I < 1 ; tons qu'on ait e,—06,— 2 . Aloïs on voit qu'on aura en tous les points de A, : pére) <

MER A : I I : 6 c’est-à-dire au moins égale à 1 — eo + ue + -) quel que soit r. Autrement dit, l’ensemble H a même mesure que J.

24. REMARQUES. — 1° Il y à un cas particulier important, où on peut s’arranger pour que l’ensemble ne : Li D H coïncide avec l'intervalle J. C’est celui où LG) tend uniformément vers f,(x), quel que soit ». En effet, dans ce cas, on peut choisir pour toute valeur de # un entier p, tel que l’on ait: En (x)

VO UOE

quel que soit x. Alors on aura: