AVE (IE

1 @ CNE ta AG), Et © ln 27 n : n—o n=e d’où :

FC = Hifi?" (x) )E— *: :

H—0 2° Si les égalités (1) n'étaient pas vérifiées nécessairement partout, mais l’étaient chacune dans un ensemble de mesure D » (m nombre fixe), on pourrait s'arranger pour que l’ensemble H fut aussi de mesure NS #. En particulier, si les égalités (1) étaient chacunes vérifiées sauf dans un ensemble de mesure nulle, la démonstration précédente prouverait encore qu’on peut s'arranger pour que Æ coïncide avec / sauf en un ensemble de mesure nulle.

Appliquons la remarque 1° en prenant pour les f,(x) des fonctions continues quelconques. On

SUR QUELQUES POINTS DU CALCUL FONCTIONNEL. 17 ee sait qu'on pourra prendre pour les f? (x) des polynomes avec convergence uniforme de f? vers f, Donc, d’après 1° les fonctions limites de fonctions continues sont aussi limites de polynomes. Appliquons maintenant notre théorème en prenant pour f, une fonction de première classe; d’après ce que nous venons de dire, on pourra prendre pour les fl?) des polynomes. Donc les fonctions de classe 2 sont limites de polynomes sauf en un ensemble de mesure nulle. Appliquons maintenant la remarque 2° en prenant pour f, une fonction de classe 2. D’après ce qui précède, on pourra prendre pour. les f?) des polynomes, la convergence ayant lieu dans / sauf en un ensemble de mesure nulle. Donc les

fonctions de classe 3 sont aussi des limites de polynomes sauf en un ensemble de mesure nulle. Plus généralement, foufe fonction f(x) rentrant dans la classification de M. BAIRE (ni, page 126) peut être considérée comme la limite d’une suite de polynomes sauf en un ensemble de mesure nulle *). Si la suite de polynomes converge partout, f(x) est de classe o ou 1. Si la suite des polynomes converge partout

uniformément, f(x) est de classe 0; c’est-à-dire continue. Il suffit même que la convergence ait lieu partout quasi-uniformêment.

CarPrree fl

Définition de la limite par le voisinage.

25. Nous avons déjà remarqué plus haut que l'extrême généralité des classes (L) ne permet pas de leur étendre un grand nombre des propriétés des ensembles linéaires. Pour obtenir des propriétés plus nombreuses, il y aurait lieu d’imposer de nouvelles restrictions à la conception des classes (L). Il faudrait les choisit de façon à satisfaire aux conditions suivantes: 1° ces restrictions devraient pouvoir s’énoncer indépendamment de la nature des éléments considérés; 2° elles devraient être satisfaites par les classes d'éléments qui interviennent le plus fréquemment dans les applications; 3° elles devraient fournir la généralisation cherchée des théorèmes sur les ensembles linéaires et les fonctions continues.

26. Or nous avons observé (n° 22) que si l’on considère une classe (L) quelconque, l’ensemble dérivé d’un ensemble d’éléments de cette classe n’est pas toujours fermé. C’est pourtant une proprièté qu’il aurait été assez naturel d’admettre, en la traduisant sous la forme suivante: Lorsque des éléments 4,, 4,, … d’une classe (L) sont chacun limite d’une

suite d'éléments (par exemple: 4, — ji A) et tendent vers une limite 4, cet élément

ee ’ TA) eee A est lui-même limite des derniers éléments (par exemple: 4 — lim Ave ). exemple

qg=

que nous avons donné (n° 22) nous montre que cette propriété n’est pas une e séquence de la définition des classes (L). Il prouve aussi qu’elle peut n'être pas vérifie, même parmi des classes (L) qui se présentent d’elles-mêmes dans la Théorie des Fonctions.

27. Cependant la propriété précédente est compatible avec un grand nombre de définitions de la limite (particulièrement les limites dites uniformes). Il y aurait donc lieu,

à j 55 j : ; *) J'ai énoncé ce théorème dans les Comptes Rendus du 20 mars 190$: Sur la notion d’écart dans le calcul fonctionnel

5 : L en CRETE M. Lesescur a obtenu ce même théorème comme application de sa définition de l’intégrale.

FRÉCHET. 3

18 MAURICE FRÉCHET.

soit d'étudier ce qui se produit quand on impose cette propriété comme condition supplémentaire à la définition de la limite, soit d'introduire une condition supplémentaire qui entrainât cette propriété comme conséquence. Or l’examen des cas déjà connus où cette propriété a lieu nous montre que c’est cette dernière circonstance qui se produit sous la forme suivante :

Considérons une classe (V7) d'éléments de nature quelconque, mais tels qu’on sache discerner si deux d’entre eux sont ou non identiques et tels, de plus, qu’à deux quelconques d’entre eux À, B, on puisse faire correspondre un nombre (4, B)—(B, 4) o qui jouit des deux propriétés suivantes : 1° La condition nécessaire et suffisante pour que (4, B) soit nul est que À et B soient identiques. 2° Il existe une fonction positive bien déterminée f(e) tendant vers zéro avec e, telle que les inégalités (4, B) Ze, (B, C) Ze entrainent (4, C) /Z f(e), quels que soient les éléments 4, B, C. Autrement dit, il sufht que (4, B) et (B, C') soient petits pour qu’il en soit de même de (4, C). Nous appellerons voisinage de À et de B le nombre (4, B).

Ceci étant, nous pourrons dire qu’une suite d'éléments de la classe (7): 4, 4,,

ne I tend vers un élément À, si le voisinage (4,, À) tend vers zéro avec A Si une suite AA "rune limite 4, elle netpeut ensavoir qu'une can si Bétinlinntesdos

: , Ar : I même suite, les nombres (4, À,) et (B, À,) seraient infiniment petits avec ——, donc n

aussi (4, BY (2° condition). Alors (4, B) serait nul et par suite les éléments 4, B ne seraient pas distincts (1° condition).

De plus, cette définition de la limite satisfait bien aux conditions I et II que nous avons imposées en général à toute définition de la limite (n° 7) et cela grâce aux conditions 1° et 2° imposées à la définition du voisinage.

28. Néanmoins toute définition de la limite satisfaisant aux conditions I et II, ne peut être déduite de la notion de voisinage. Il nous sufhra pour le prouver de démontrer le théorème suivant.

THÉORÈME. — L'ensemble dérivé d’un ensemble d'éléments d’une classe (V) est un ensemble ferme.

En effet, revenons aux notations employées plus haut. Puisqu’ici la limite est déduite du voisinage, on pourra faire correspondre à chaque entier # un entier g, tel que

CAE) eébUnICntierep ee nitelique 10100 470) . On aura donc:

(Pm) et par suite Aÿ») tend vers À quand # tend vers l'infini. Si maintenant nous revenons à l’exemple de la classe (C) donné plus haut, nous voyons qu'il fournit une classe (Z) où il est impossible de construire une définition quelconque du voisinage telle que la définition de la limite qu’on en déduirait coïncide

avec celle qui avait été adoptée. Car, en partant de cette dernière, on obtient un ensemble dérivé non fermé.

SUR QUELQUES POINTS DU CALCUL FONCTIONNEL. 19 ————————————— — — .Î (———Ï—.(ç(ç—————.—.ç——.. (—. . !" .

C'est donc vraiment se limiter que de considérer en particulier les classes (7) parmi les classes (L) et nous pouvons espérer obtenir ainsi de nouvelles généralisation.

Nous nous bornerons donc maintenant à l'étude des classes (W), c’est-à-dire de celles des classes (L) où la définition de la limite est déduite de celle du voisinage.

29. THÉORÈME. — L'ensemble P des éléments de condensation *) d’un ensemble condensé E formé d'éléments d’une classe (V7) est un ensemble parfait on nul He

En effet, on peut d’abord montrer que P est un ensemble fermé sans supposer que E soit condensé et même pour une classe (L) quelconque. Car si À est un élément quelconque limite d’éléments 4, 4,, ... de P, c’est d’abord un élément limite de E puisque P est contenu dans E” qui est fermé d’après le théorème précédent. De plus, si lon enlève de E un ensemble dénombrable, les éliments 4, 4, ... resteront éléments limites de l’ensemble restant Æ, (sans lui appartenir nécessairement) puisqu’ils sont éléments de condensation de E. Donc 4 est aussi élément limite de F7, qui est aussi fermé. Dès lors 4 est encore élément limite de Æ , c’est bien un élément de condensation.

Montrons maintenant que tout élément de P appartient à P’. En effet, soit 4 un

élément de P, et FE, l’ensemble des éléments B de E tels que — ARE =.

Il y a une infinité de ces ensembles qui sont non dénombrables, sans quoi il y aurait

un entier g tel que l’ensemble des éléments B de E vérifiant (4, B) cu

Joton

nombrable et par suite À ne serait pas un élément de condensation. Ainsi, parmi les ensembles E,, il y en a une infinité qui sont non dénombrables: E,, E,,, ... pris dans l'ordre des indices croissants. Comme E est condensé, l'ensemble non dénombrable E, à

est d’ailleurs distinct de

voit facilement que (4,,, À) tend vers zéro, donc À appartient à P”. 80. THÉORÈME. — Soit E un ensemble condensé formé d'éléments d’une classe (V). L'ensemble D des éléments de E qui ne sont pas des éléments de condensation de E est

donne lieu à au moins un élément de condensation À, À, :

A puisqu'il est limite d’éléments B tels que (4, B) soit supérieur à "Ofon

un ensemble dénombrable ***).

81. COROLLAIRE. — Tout ensemble fermé et condensé formé d'éléments d'une classe (V) est la somme d’un ensemble dénombrable et d’un ensemble parfait ou nul sans éléments communs.

32. THÉORÈME. — L'ensemble D de ceux des éléments d’un ensemble compact E dé-

*) Voir les définitions données plus haut (n° 8). Nous verrons plus loin (n° 43) un cas très général où un ensemble quelconque est toujours condensé, c’est-à-dire qu'une infinité non dénombrable quelconque de ses éléments donne toujours lieu à au moins un élément de condensation.

#) La démonstration suivante est la généralisation de la démonstration récemment donnée par M. LiNDELOF pour le cas où les éléments de E sont des points de l’espace. Voir BoREL (1, pages 5, 6). Je n’ai insisté que sur les points de sa démonstration qui demandent quelques précautions pour être généralisés.

#*##) Même remarque que pour le théorème précédent.

20 MAURICE FRÉCHET.

léments d’une classe (V7) qui n’appartiennent pas à l’ensemble E' dérivé de E est dénombrable *).

En effet, si À est un élément de D, appelons p, la limite inférieure N o du voisinage de À avec les éléments de Æ’. Le nombre p, est positif, sans quoi A serait un

élément limite de E’ et par suite appartiendrait 2 Si

Je dis que le nombre des éléments de D pour lesquels on a p, > rs St fini.

En effet, dans le cas contraire, on pourrait en prendre une infinité: 4,, 4,,..., 4,,.. tous distincts et tendant vers une limite B. Alors, en prenant p assez grand on aurait

(4, tiendrait à E', contrairement à la définition de p4,. Ainsi, il y a un nombre fini d'éléments À de D: AM, 4°, ..., A tels que ND —.

PES Si lon considère la suite dénombrable :

(1) (Pr) (1) (P2) (1) (Pn) AE RAT A PA RAS ne A EEE

BYE es Pa,» CE qui est impossible, puisque B, limite d’éléments de E, appar-

on voit que tous les éléments de D y sont inscrits chacun au moins une fois. Donc D est dénombrable.

En particulier, on voit que si Æ est ferme, E se décompose en son ensemble dérivé E’ et un ensemble dénombrable D.

CoRoOLLAIRE [. — Si l’ensemble dérivé E' d’un ensemble compact E formé d'éléments d'une classe (V7) est dénombrable, l’ensemble E est lui-même dénombrable.

83. COROLLAIRE IL. Un ensemble extrémal quelconque F formé d'éléments d’une classe (V7) peut étre considéré comme l’ensemble dérivé d'un ensemble d'éléments de la classe (V). Du moins, cette proposition se trouvera exacte quand la classe (W) sera telle que l’on puisse toujours y trouver un élément dont le voisinage avec un élément arbitrairement donné soit inférieur à un nombre positif quelconque donné. Cette condition bien naturelle est satisfaite dans tous les exemples concrets que nous étudierons par la suite.

Supposons donc cette condition remplie; on aura F — D + F', D étant un ensemble dénombrable d'éléments :

DR ee

2 ! Go À chacun d'eux, 4,, correspond comme précédemment un nombre positif p, . n

Quel que soit p on pourra par hypothèse trouver un élément de la classe (V): B, ñn I 1€ a.

tel que (4, B4) ne Nous avons ainsi des éléments B déterminés pour toute

valeur entière de # et de p. Appelons Æ l’ensemble des éléments de F’ et des éléments

) Pour la démonstration dans le cas où E est un ensemble ponctuel, voir, par exemple, 1, page 36. La seconde partie de cette dernière démonstration s’appuie sur ce que des intervalles de longueurs bornées, recouvrant le segment (0, 1) et dont les milieux n’appartiennent pas à deux intervalles, sont nécessairement en nombre fini. Elle ne saurait donc se généraliser ici.

SUR QUELQUES POINTS DU CALCUL FONCTIONNEL. 21 a mm +

BY. Je dis que F est l’ensemble dérivé de Æ. En effet, tout élément de F est évidemment élément limite de Æ. Réciproquement, considérons une suite 3 d’éléments de E tendant vers une limite C. Je dis que C appartient à F. En effet, s’il JR AEUanS cette suite une infinité d’éléments BŸ correspondant à une même valeur de », c’est évident. De même aussi, s’il y a une infinitt d'éléments de F', car F' est ferme: et contenu dans F. Reste le cas où il n’y aurait dans Y qu’un nombre fini d'éléments de F' et un nombre fini d'éléments BŸ pour chaque valeur de n. Alors il y aurait une infinité d’éléments distincts BŸ correspondant à des valeurs croissantes de #:

(p1) by) BTE BF,

En prenant qg assez grand, on aurait : (Br, Cheerett, Bja) LE | puisque I I ee

— |; d'où: (4,, C 5) a lo 1 sl . . .

Comme f(e) tend vers zéro avec s, on voit que C serait limite d’éléments de D, c’est-à-dire dans F’, donc encore dans F.

(Pa) z ? : (Pq) Bis tend vers C et qu’on a: (dns Br) <

34. Appelons sphéroïde de centre À et rayon p l’ensemble de tous les éléments B tels que l’on ait: (4, B) 5. Nous dirons qu’un élément C est inférieur à ce sphé- Ode SORA CT UC) ED.

THÉORÈME. — Si un ensemble fermé F appartient à un ensemble compact E formé d'éléments d'une classe (VW), on obtiendra F en supprimant de E les éléments INTÉRIEURS à chacun des sphéroïdes d'un certain ensemble dénombrable de sphéroïdes *).

En effet, soit G l’ensemble complémentaire de F, c’est-à-dire ensemble des éléments de Æ ne faisant pas partie de F. À tout élément 4 de G, nous pouvons faire correspondre un nombre p, qui sera la limite inférieure du voisinage de À avec chacun des éléments de F. Le nombre p, > 0 ne pourra être nul, sans quoi 4 appartiendrait à F comme limite d'éléments de F.

Nous allons maintenant former une suite dénombrable d’éléments de G:

(1) (Pi) (1) (P32) (1) (Pn) PR PT A RATER

I I telle que 1° on ait & (n . LAS HORS quel que soit #; 2° si À est un élément 5 ur

ñn

de G tel que: D) on ait l’une des inégalités (4, A4!) <=, CA RAN NE ——.

Pour montrer que cela est possible, supposons la suite formée jusqu’à Afr-1 et

appelons en général T l'ensemble des éléments B de E tels que: (B, A1) < —.

, I Prenons alors un élément 4 de G (s’il en existe) tel que p, = ct qui ne fasse