Application

La méthode des familles normales permet d’obtenir des renseignements sur la distribution des valeurs des fonctions entières ou méromorphes, ou des fonctions méromorphes au voisinage d’un point qui est point singulier essentiel. On peut l’étendre dans certains cas à l'étude des valeurs d’une fonction %Y uniforme sur une surface de Riemann. Etant donnée une infinité de domaines D,, D,.., D … de S, représentables conformément sur D,, l’étude de Y dans la suite de domaines se ramène à l'étude dans D, d’une suite de fonctions. Nous étudierons le cas simple de la surface de Riemann F de la fonction y définie par y”"—f(x), f(x) étant une fonction entière,

Théorème I : Si parmi les zéros &,, a,…, a, de f (x), rangés par ordre Qni+a sde ni

(«> 0)et que n, soit premier avec m, les fonctions Y holomorphes sur F et non constantes admettent au plus une valeur exceptionnelle finie.

de module non décroissant (°), il existe une suite ar, telle que

En effet, soit Cn, une couronne de centre O, de rayons Ra, hd: et Ra MR IN ans [0 Cle =

n;, étant premier avec m, un tour sur une circonférence de centre O intérieure à la couronne fait passer d’une branche de y à une autre, et on ne revient à la branche initiale de y qu'après m tours. Comme domaine d’uniformité de y dans CG: on peut donc prendre un domaine C’, , formé de m couronnes identiques à C,. , fendues et reliées suivant des ae de passage qui se projettent sur un rayon quelconque (par exemple sur l’axe réel). Une homothétie convenable ramène C’, sur Ca, =

Si Y admettait deux valeurs re aus Det B, les fonctions correspondantes ŸVnr; dans C/r;, formeraient une famille normale, ce qui est impossible : car si une suite de ŸYr;, convergeait vers une fonction limite qui ne soit pas la constante infinie, % serait bornée dans une infinité de couronnes, donc constante; et si une suite de ‘Vn, convergeait vers

l'infini, on serait conduit à la même contradiction en considérant a , Ve.

qui est aussi holomorphe sur F ().

On a un théorème analogue pour les fonctions définies sur F seulement

à l’extérieur de (x ÆIR 8

Théorème II : Dans les hypothèses du théorème précédent, une fonction holomorphe sur F pour |x| > R prend, pour |x| > R, une infinité de fois toute valeur finie sauf une au plus, ou se réduit à une fonction holomorphe infini.

Si on suppose les fonctions méromorphes, le nombre de valeurs exceptionnelles peut être deux, mais l’une des valeurs peut être infinie.

Remarque : Dans le théorème II on peut supposer que la surface de Riemann considérée est celle de la fonction y définie par y" = f (x), f étant seulement holomorphe pour R’ < (x < œ. La condition « n, premier avec m » doit être alors remplacée par la suivante, à laquelle elle équivalait ci-dessus : les portions de surface de Riemann projetées sur les Cr, sont connexes.

10. Nous supposons, pour fixer les idées, que f a une infinité de zéros, tous simples. Cette hypothèse n’est pas essentielle.

11. Nous avons supposé que les valeurs exceptionnelles « et B n'étaient jamais prises. Si on suppose que chacune d'elles peut être prise un nombre fini de fois, on trouve que Y se réduit à une fonction uniforme de æ qui est un polynôme.

Cette hypothèse de connexité a été introduite pour que l’on puisse affirmer que les m branches de la fonction limite sont bornées, ou que les m branches tendent vers l'infini. Klle n’est plus nécessaire si on se limite à l’étude de fonctions Y de la forme Y—B (x) y” puisque les différentes branches de % sont alors dans un rapport constant.

Appliquant ceci à la fonction JVC) où f(x) est holomorphe pour RES [x < œ, a une singularité essentielle à l'infini, et admet une valeur exceptionnelle finie 0, on voit que y admet deux valeurs exceptionnelles

Him

. . # V4 La a finies et que par suite les zéros à, de f vérifient p—|——

—1 Cest un

résultat connu, que l’on pourrait obtenir directement en considérant, dans le plan (x), des couronnes d'épaisseur relative constante ne contenant pas de zéro de f.

Si on suppose seulement, dans le théorème I (ou Il), l’existence de couronnes CG d'épaisseur relative constante ne contenant pas de zéros, mais telles que les portions correspondantes de surface de Riemann peuvent ne pas être connexes, on extrait de la suite C, une suite C» pour laquelle les portions de surface de Riemann sont formées du même nombre p de parties connexes, sans lien entre elles, se transformant par homothétie par rapport au centré des couronnes lorsque l’indice n'; varie. C’est évidemment possible puisqu'il n’y a qu’un nombre fini de manières de former une couronne à m feuillets comme réunion de couronnes à moins de m feuillets. Les lignes de passage sont toujours des segments projetés sur l’axe réel. Soit C, une suite partielle conduisant à la plus petite valeur possible p. On a le théorème ‘:

Théorème III : Le nombre de valeurs exceptionnelles finies des fonctions holomorphes sur F et non constantes est au plus égal au plus grand des nombres 1 et p— 1.

Le théorème est démontré pour p — 1.

Supposons p > 1 et soient «, B, … À p valeurs exceptionnelles. Aux valeurs de Y dans C», correspondent dans C»!, les valeurs de p fonctions, chacune des p familles ainsi définies étant une famille normale. Si on a une suite partielle donnant lieu dans les p familles à une fonction limite holomorphe, on voit que % se réduit nécessairement à une constante. Si dans l’une au moins des familles la fonction limite est la constante infinie,

- et on se ramène au

à NT A on substitue à Y l’une des fonctions TR BA NCren

cas précédent.

Fonctions méromorphes à valeur exceptionnelle.

La considération de familles normales dans un domaine non simple fournit aisément une propriété des fonctions f(x) méromorphes pour

RE [x < x, ayant une singularité essentielle à l'infini, et admettant une valeur exceptionnelle y.

A l’aide d’une transformation homographique, on peut toujours supposer y — .

Soient a,les racines de /(x)—a—0(|a,|<|a,| <<...) et soit une famille de domaines D, satisfaisant aux conditions suivantes : D, contient &, et ne contient aucun point où f (tx) = B (Ba et B+7y); les D, sont semblables et a, semblablement placé dans les D,. D, sera par exemple un cercle

de centre 4, de rayon R,, R, étant soit le rayon maximum pour lequel D, a la propriété requise, soit inférieur à ce maximum. Lorsque c’est

possible on pourra prendreR, constant.

La fonction Y— Vf@&)—2 est holomorphe dans chacun des domaines D', formés par la réunion de deux feuillets égaux à D,, fendus suivant un segment de droite issu de &, parallèle à l’axe réel, et reliés convenablement. Dans D, 4 admet comme valeurs exceptionnelles les deux déterminations de VE—c; d'autre part Y (a,) = 0.

En ramenant, par une transformation linéaire sur x, les domaines D, sur D’,, on obtient dans D’, une famille normale ‘Y, dont les fonctions limites ne peuvent être que des fonctions holomorphes nulles en a, ou la constante 0. Et la même propriété est vraie pour les fonctions /, dans D, qui correspondent à f(x) dans D, : en des points homologues d’une suite partielle de D, , f prend des valeurs qui tendent uniformément vers une limite.

Un exemple évident est fourni par f(x) = e",a—1,8—0, R, constant quelconque : en des points homologues, f reprend la même valeur.

C. — Familles de fonctions uniformes dans des domaines qui admettent un domaine limite.

8. — L'étude faite ci-dessus des familles de fonctions uniformes dans un même domaine non simple peut être étendue aux familles de fonctions dont les domaines d’uniformité tendent vers un domaine limite. Nous nous bornerons au cas de fonctions algébroïdes.

Etant donné une famille d’algébroïdes à m branches dans un domaine D du plan (x), nous restreindrons la notion de convergence d’une suite Y, en imposant

a) les m valeurs prises en chaque point de D par les 4, tendent vers

des valeurs limites;

b) les domaines à m feuillets F, sur lesquels les Ÿ, sont uniformes

tendent vers un domaine limite.

Pour définir la convergence des m valeurs prises en un point vers des valeurs limites, on pourrait utiliser les coefficients des équations qui définissent les Y, (Montel, [1]).

On peut aussi donner une définition directe.

Définition : Soient deux systèmes de m nombres u (u,, u,, … u,) et 0 (U;,, D», … v,), l'ordre des u, ou v, n’important pas. La distance (u, v) est par définition la somme (u, v) = Y lu; —v;l correspondant à l’association d'indices (ou l’une des associations d'indices) pour laquelle le second membre a sa valeur minimum. Chaque u, et chaque v, figurent au second membre une fois et une seule.

(u, v) est bien une distance : (u, w) est > 0 et n’est nul que si les u,; sont identiques aux v, à l’ordre près. D’autre part l’inégalité du triangle est satisfaite :

(Qu, v) +, w)=X [u—v,| +310, —w,]>%lu, —w,|> (u, w).

Et on peut définir la continuité d’une fonction multiforme à m branches, l’égale et l’uniforme continuité, la convergence, la convergence uniforme... Pour l’étude d’algébroïdes méromorphes, on prendrait sur la sphère de Riemann des distances cordales [us —v;|.

Quant à la convergence des domaines F, il importe de remarquer que F, n’est pas complètement déterminé par la connaissance de D et V, : les lignes de passage peuvent être tracées d’une infinité de manières. Nous préciserons la construction de F, et c’est ce domaine précisé qui tendra vers une limite F. D sera supposé borné. Pour simplifier l’exposé nous supposerons qu'il est d’ordre de connexion fini et que sa frontière est formée d’un nombre fini d’arcs analytiques. Cette hypothèse non essentielle est suffisante pour les applications; si elle n’était pas satisfaite, il suffirait de considérer D comme limite d’une suite de domaines vérifiant les conditions indiquées.

Soient a”, les projections des points de ramification de F, sur le plan (x). Les lignes de passage de première famille (issues des points de ramification) seront des segments de droite joignant les points de ramification à la frontière de F, : on peut par exemple supposer que ces segments se projettent sur les droites O a”,, et dans le prolongement de Our O étant choisi de manière que deux projections de points de ramification ne puissent être alignées avec lui, ce qui est loisible puisque les a ", sont en infinité dénombrable au plus. Dans le cas où certaines parties de la frontière se réduiraient à des segments de droite, on supposera aussi que One se trouve sur aucune des droites supports de ces segments. Il arrivera dans la suite que, lorsque n + œ, certains as tendent vers des points frontière bien déterminés de D : pour de tels points, au moins à partir d’une certaine valeur de n, nous prendrons pour lignes de

passage des segments projetés non plus sur Oa”,, mais sur le plus court segment issu de a", et joignant a”, à la frontière de D, de sorte que les longueurs des lignes de passage correspondantes — 0 quand n >.

Le nombre des lignes de passage de deuxième famille, correspondant à des contours C de D non réductibles à des points, admet une borne supérieure indépendante de n; ces lignes seront des segments de droite joignant deux points frontière de F,, et on peut supposer que les lignes joignant deux points projetés sur deux courbes frontière C;, C; aient, pour tout n, même projection sur le plan (x).

Pour que F + F, domaine de même nature, il faut et suffit que les a”, tendent, quand n + æ, vers les a, projections des points de ramification de F, ou vers la frontière de D, que, pour chaque ira qui tend vers un @,, la liaison des feuillets de F, autour de a”, soit la même à partir d’un certain rang que la liaison des feuillets de F autour de a,, et enfin que, à partir d’un certain rang, les lignes de passage de deuxième famille associent dans F, et dans F les mêmes feuillets, et de la même manière.

9. — Théorème : Les fonctions algébroïdes à m branches, méromorphes dans D, n'y prenant pas trois valeurs distinctes a, b, c, et dont les points critiques algébriques dans le plan (x) sont à distance > 8 > 0 les uns des autres, forment une famille normale dans D.

De toute suite de fonctions de la famille on peut extraire une suite de fonctions auxquelles correspondent des domaines d’uniformité F, qui tendent vers un domaine limite F. Pour chaque point d’un domaine complètement intérieur à D, Îles valeurs des fonctions de la suite extraite tendent uniformément vers les valeurs d’une fonction limite, qui est uniforme et méromorphe dans le domaine limite. C’est donc une algébroïde à m branches, qui peut se réduire à une constante finie ou infinie, ou à plusieurs constantes si F n’est pas connexe.

En effet, étant donnée une suite de fonctions Y,, on en déduit par extractions successives une suite du, telle que Fr, tende vers un domaine limite F : par une première extraction on impose qu’un des points de ramification faisant communiquer les deux feuillets supérieurs (s’il y en a) tende vers un point limite. Et on renouvelle l’opération avec les différents groupes de feuillets. Cela nécessite un nombre fini d’extractions puisqu'il y a un nombre borné de points de ramification dans chaque F,. On impose ensuite que la liaison des feuillets autour de chaque point de ramification dont la projection tend vers un point intérieur à D, et que la liaison due aux lignes de passage de deuxième famille, soient les mêmes pour tous les domaines de la suite, ce qui est possible puisqu'il n’y a qu’un nombre fini de tels modes de liaison.

Ayant obtenu une suite de fonctions ‘Y, , pour lesquelles PAR EMESton fait une étude locale. Dans un voisinage assez petit d’un point x qui n’est

pas projection d’un point de ramification de F, les m branches de 4,,, à partir d’un certain rang, sont m fonctions méromorphes de x et chacune admet trois valeurs exceptionnelles : on peut, par extractions successives, obtenir une nouvelle suite telle que chacune des branches tende uniformément vers une fonction limite. Soit a;, limite de points a”, qui sont des projections de points de ramification faisant communiquer par exemple les deux feuillets supérieurs. Posant x—a'",—=t#?, on voit que les deux branches correspondantes de Va, sont données par une fonction f, , méromorphe en { dans un certain cercle de centre { — 0, où elle admet trois valeurs exceptionnelles. Les f, forment dans ce cercle une famille normale. D'autre part x— a”, tend uniformément vers æ— a. Une nouvelle extraction permet donc d’obtenir que, dans un certain cercle de centre a, les deux branches de dm, correspondant aux deux feuillets supérieurs tendent uniformément vers les valeurs d’une fonction uniforme en /x— a, On opère de même, au voisinage de a;, pour les autres branches de 4,,. Il ne reste qu’à appliquer le procédé diagonal.

Remarque : Si les portions des F, projetées sur un même domaine A complètement intérieur à D sont connexes, F est évidemment connexe. Dans ce cas on est assuré que, si la fonction limite est constante, la limite est pour les m branches la même constante finie ou infinie; ou bien, dans le cas de fonctions holomorphes, la limite est une fonction algébroïde holomorphe, dont les m branches sont bornées à l’intérieur de D.