Application

Théorème : Soit une algébroïde entière dont la surface de Riemann F a la propriété suivante : il existe une suite infinie de couronnesC, (S7R,,5"PR,) avec R, > R,, o > 1, dans lesquelles les points de ramification se projettent sur le plan (x) à des distances mutuelles > 0? 8 (8 > 0), et telles que des portions de surface de Riemann correspondant aux couronnes PR PR PER) soienticonnetes(R, <R: <R><%R))"Duns Ces condttions, toute fonction Y, holomorphe sur F admet au plus une valeur exceptionnelle finie, ou se réduit à une constante (®).

On ramène en effet par homothétie au cas d’une seule couronne c, et on applique le théorème précédent.

S'il y avait deux valeurs exceptionnelles a, b, on aurait dans Cu, une famille normale. S’il existait une fonction limite qui ne soit pas la constante infinie, Y serait bornée dans tout le plan, ce qui est impossible si Ÿ

12. On traiterait évidemment comme plus haut le cas où les valeurs exceptionnelles peuvent être prises un nombre fini de fois, le cas des fonctions méromorphes, le cas des fonctions définies sur F seulement pour fx) > ÆR, et le cas où les portions de surface de Riemann ne sont pas connexes.

n’est pas constant. Si toutes les limites étaient l’infini, on considérerait are

Les cas de 0 et 1 valeur exceptionnelle peuvent effectivement se présenter.

Un exemple simple de fonction sans valeur exceptionnelle est fourni Dar UE), f(x) étant une fonction entière sans valeur exceptionnelle dont les zéros sont tels que la surface de Riemann ait les propriétés requises.

Un exemple de fonction holomorphe sur F et n’y prenant pas une valeur que nous supposons être 0 este”, Y désignant une fonction quelconque holomorphe sur F. Nous verrons plus loin que l’expression e” ne donne pas toutes les fonctions sans zéros sur F : l’expression générale est e!, I désignant une intégrale abélienne de première espère dont toutes les périodes sont multiples de 2ri.

Cercles de remplissage : Dans les hypothèses du théorème précédent, la famille d, que l’on doit étudier dans GC, peut-elle être normale?

Voici deux cas où l’on peut affirmer qu’elle ne l’est pas

a) Ÿ admet une valeur exceptionnelle a : il suffit pour le voir de reprendre la démonstration précédente.

b) l’ensemble des couronnes C, recouvre tout le plan (x) : dans ce cas, puisque des fonctions limites bornées de la suite Y, conduisent à contradiction, toutes les fonctions limites devraient être la

constante infinie. Ceci exigerait que ‘VV, tende uniformément vers l'infini avec n,, c’est-à-dire que ‘Y tende uniformément vers l'infini avec +. Cette hypothèse est à rejeter si ‘V ne se réduit pas à un polynôme en x.

- Dans ces deux cas il existe au moins un point de C, où la famille n’est pas normale, et par suite des cercles de remplissage, vus de l’origine sous un angle constant (arbitrairement petit) dans l’ensemble desquels Y prend toute valeur sauf une au plus. Il en résulte l’existence de directions de Julia.

Il est à remarquer que les propriétés précédentes des fonctions Ÿ ne dépendent que de propriétés de la surface de Riemann F.

Elles s’appliquent aussi aux fonctions définies sur une surface de Riemann S qui admet localement les propriétés de F, c’est-à-dire où il existe m disques superposés communiquant entre eux par une infinité de points de ramification d’ordre fini < m1, qui ne s’accumulent qu’au centre de chacun des disques. Le centre de chaque disque est point frontière de la surface de Riemann. Il suffit pour se ramener au cas précédent de faire une transformation homographique sur x envoyant le centre des disques à l'infini. Si les propriétés requises de distribution des points de ramification et de connexion sont remplies, toute fonction Y% méromorphe sur S a au plus deux valeurs exceptionnelles (dont l’une peut être la

valeur infinie) ou se réduit sur les m disques à une même fonction uniforme de «x.

Notons enfin qu’on pourrait aisément étendre au cas des domaines non simples certains résultats de la théorie des familles quasi-normales.