Familles normales

Les notions et principaux résultats valables pour des domaines plans (Montel, [1]) s'appliquent encore pour un domaine D non simple. Nous n’utiliserons qu’un domaine D borné intérieur à l'un des S,.

Pour qu’une famille de fonctions holomorphes (ou méromorphes) dans D soit normale dans D, il faut et suffit qu’elle soit normale en tout point M de D (c’est-à-dire dans un cercle de centre M, cercle ordinaire si M est point simple, cercle à v feuillets si M est point de ramification d’ordre y — 1 : on pose dans ce dernier cas Z — Æu — 7’.

Et on a deux critères principaux de normalité, dont la validité résulte d’une étude locale :

a) Si des fonctions holomorphes dans D ont leurs modules bornés dans leur ensemble à l’intérieur de D, elles forment une famille normale dans D.

Réciproquement, si les fonctions holomorphes d’une famille normale dans D sont bornées en module en un point de D, elles sont bornées dans leur ensemble à l’intérieur de D.

Elles sont aussi également continues à l’intérieur de D.

b) Etant données des fonctions méromorphes dans D, si aucune d’elles ne prend trois valeurs distinctes (l’une des valeurs pouvant être l’infini), elles forment une famille normale.