Domaine fondamental. Côtés. Sommets

On appelle groupe fuchsoïde un groupe de substitutions homographiques sur z qui laissent fixe l’intérieur du cercle |z| — 1 (ou ce qui revient au même le demi-plan À (z) > 0), le groupe étant de plus proprement discontinu à l’intérieur du cercle Iz| — 1 (ou dans le demi-plan J (z) > 0).

Le groupe contient au plus une infinité dénombrable de substitutions et dérive d’un nombre fini ou d’une infinité dénombrable de substitutions génératrices. Dans le premier cas, le groupe est dit fuchsien, dans le deuxième fuchsoïde. Des exemples de ce deuxième cas seront construits ultérieurement.

Nous raisonnerons soit dans le cercle |z] < 1 ou le demi-plan JS (z) > ©, soit dans le plan de la géométrie projective de Cayley, à l’intérieur de l’ellipse fondamentale. Angles et distances auront leurs valeurs non euclidiennes.

Comme dans le cas des groupes fuchsiens, la méthode du rayonnement, appliquée dans le plan de Cayley, permet d’obtenir un domaine fondamental du groupe : C, étant un point intérieur à l’ellipse, distinct des points fixes de substitutions elliptiques, et C; ses équivalents, l’ensemble des points M qui vérifient : distance C;M < dist. C;,M forme un domaine fondamental, qui est un polygone convexe P, à une infinité de côtés. S'il n’y avait qu’un nombre fini de côtés, on sait qu’on aurait un groupe fuchsien.

Côtés : les côtés de première espèce (Fatou, [1], p. 107) ou intérieurs à l’ellipse sont rectilignes : ce sont des segments des médiatrices des CCE

1. Dans ce chapitre il sera fait de fréquents renvois à Fatou, [1], chap. x1v et xv.

Les côtés de deuxième espèce (qui peuvent ne pas exister) sont des arcs de l’ellipse fondamentale. La frontière de P, comprend les côtés et leurs points d’accumulation (2) qui peuvent n’appartenir à aucun côté, mais sont toujours situés sur l’ellipse.

On peut présenter de manière différente la construction de P, (Fatou, [1], p. 105) : de chaque point C; comme centre, décrivons un cercle non euclidien de rayon r assez petit pour que ces cercles soient non empiétants, puis faisons croître r et arrêtons la croissance d’un rayon issu de C; dès qu’il rencontre un rayon issu d’un autre centre. L’aire balayée par les rayons issus de C;, quand on a fait croître r si nécessaire jusqu’à + ®, est le polygone fondamental relatif à C; ou polygone rayonné de centre C:; on obtient ainsi un pavage de l’ellipse par un réseau de polygones rayonnés de centres C,, C;,, …, équivalents et non empiétants.

Les côtés de première espèce de P, sont deux à deux équivalents par les substitutions du groupe, et d’une seule manière (*) : on peut les associer en couples de côtés équivalents. Remarquons qui si AB est équivalent à A’B, et si, parcourant A B de À vers B, on laisse P, à gauche, quand en parcourt A’ B’ de A’ vers B’, on laisse P, à droite.

Sommets (*) : les sommets de première espèce ou intérieurs à l'ellipse sont les points de rencontre des côtés de première espèce de P;- Il n’y en a qu’un nombre fini dans tout domaine camplètement intérieur à l’ellipse. Ils peuvent être adventifs (dépendant de C,) ou elliptiques (points fixes de substitutions elliptiques).

L'étude des polygones équivalents assemblés autour d’un sommet adventif A montre que les sommets adventifs se répartissent en cycles fermés d’un nombre fini de sommets (en général 3), la somme des angles d’un cycle étant égale à 27; le centre C, de P, est équidistant des sommets d’un même cycle.

Toute classe de points fixes elliptiques possède au moins un représentant parmi les sommets de première espèce de P, : les sommets ellip-

tiques de P, se répartissent en cycles fermés, la somme des angles d’un 2 x

cycle étant égale à =— si la substitution elliptique correspondante est une

rotation d’angle ZT, Le nombre de sommets d’un tel cycle est fini et égal

à 1 en général : dans ce cas, les deux côtés aboutissant au sommet elliptique sont conjugués l’un et l’autre.

Les sommets de seconde espèce ou situés sur l’ellipse peuvent être points de rencontre de deux côtés de première espèce, ou d’un côté de

2. Les points d’accumulation sont définis avec la métrique euclidienne.

3. En introduisant éventuellement des sommets non apparents, dans le cas de côtés dont les deux extrémités seraient permutées par une substitution elliptique de période 2.