Voir Fatou, [1], pages 108 et suivantes

première espèce et d’un de seconde espèce : ils sont ou adventifs, ou points fixes de substitutions du groupe. On montre comme dans le cas des groupes fuchsiens qu'ils ne peuvent être points fixes de substitutions hyperboliques : si T est une substitution hyperbolique du groupe fuchsoïde G, P, est intérieur au polygone rayonné de centre C, relatif au sousgroupe I de G formé par les puissances de T, et ce polygone rayonné est un quadrilatère laissant les points fixes A et B de T à son extérieur.

Toute classe de points fixes de substitutions paraboliques de G admet un représentant sur le périmètre de P, : soit À un sommet parabolique; en À aboutissent deux côtés rectilignes; les sommets équivalents à À sur le périmètre de P, forment un cycle fermé dont tous les angles sont nuls. On peut toujours obtenir par un choix convenable de C,;, et nous supposerons cela réalisé dans la suite, que les cycles se réduisent à un seul élément : les deux côtés aboutissant en A sont alors conjugués.

Quant aux sommets de seconde espèce qui ne sont pas points fixes de substitutions paraboliques (sommets adventifs) on peut toujours supposer, en choisissant convenablement C,;, qu'ils sont intersection d’un côté de première espèce et d’un de seconde espèce. Soit À un tel sommet

Fig. 2

adventif et AB le côté rectiligne qui y aboutit, et soit P’ le polygone adjacent à P, le long de A B. A ne peut être par hypothèse pour P’ intersection de deux côtés rectilignes, sinon la même circonstance se produirait pour un sommet de P;. Si dans P’ aboutit en A un côté de deuxième espèce, on voit, en faisant la transformation qui change P’ en P,, que P, possède un autre sommet adventif formant cycle avec À : on a un cycle ouvert

“ LA L4 # \ T à deux éléments dont chaque angle est égal àT :

Mais il peut arriver, comme nous allons le voir, que dans P’ il n’aboutisse pas en À d’autre côté que B A, le sommet A étant singulier pour P’. S'il en est ainsi, dans P,, A doit être considéré comme formant un cycle à lui seul. Les sommets adventifs de seconde espèce forment donc, moyen-

nant un choix convenable de C,, des cycles à un ou deux éléments, chaque

ti angle du cycle étant égal à 9 :

En plus de ces sommets, qui ont des propriétés analogues à celles des sommets des groupes fuchsiens, P, admet d’autres points frontière qui ne sont ni intérieurs à un côté, ni intersection de deux côtés consécutifs, et que nous appellerons sommets singuliers. Ce sont les points d’accumulation, au sens de la métrique euclidienne, des côtés ou sommets ordinaires de P,;.

Parcourons le contour de P, dans un sens déterminé en partant d’un sommet À intérieur à l’ellipse; on décrit ainsi une ligne polygonale formée de côtés consécutifs de première ou de seconde espèce. Quand le nombre de côtés parcourus augmente indéfiniment, on voit, en raison de la convexité de P,, qu’on aboutit en un point S bien déterminé de l’ellipse. En S peut aboutir aussi : soit un côté déterminé de première ou seconde espèce, soit une ligne polygonale infinie analogue à la ligne A S; ou aucune de ces hypothèses peut n'être réalisée.

Fig. 3

Partant de À en sens contraire, on décrit, s’il ne reste qu’un nombre fini de côtés non utilisés, une ligne polygonale finie aboutissant en S$S, et dans le cas contraire, une ligne infinie AS’, S’ pouvant être confondu avec S. Les lignes polygonales S’ AS étant évidemment en infinité dénombrable au plus, il en est de même de leurs extrémités S et S.

Mais il existe des sommets singuliers de nature plus compliquée, qui ne sont ni extrémité d’un côté, ni extrémité d’une ligne polygonale infinie : ce sont des points d’accumulation S* de sommets tels que S ou S’. Ils peuvent ne pas exister, être en nombre fini, en infinité dénombrable ou en infinité ayant la puissance du continu. Des exemples de ces différents cas seront donnés dans la suite.

Modifications permises. — A partir de P, on peut obtenir d’autres domaines fondamentaux en employant le procédé suivant : on supprime de P, une portion dont la frontière comprend un arc du périmètre de P,, et on ajoute une aire limitrophe équivalente à l'aire supprimée. Le procédé peut être répété. Mais nous exigerons que le nouveau domaine obtenu soit

simplement connexe et limité par des arcs analytiques. La convexité et la propriété qu'ont les côtés intérieurs d’être rectilignes ne sont pas essentielles. En particulier, on peut remplacer chaque côté rectiligne A B par un arc analytique assez voisin de À B et ayant mêmes extrémités, de manière à ne pas modifier les propriétés des sommets de première et seconde espèce, ou des sommets singuliers.

Si l’on exigeait: seulement que P, reste connexe, on pourrait obtenir des domaines fondamentaux ayant des propriétés plus compliquées, par exemple présentant des côtés qui n’aboutiraient pas en un sommet déterminé, mais s’accumuleraient sur des arcs de l’ellipse.