Obtention géométrique des groupes fuchsoides

A tout groupe fuchsoïde nous avons fait correspondre un domaine fondamental P, qui a les propriétés suivantes

a) P, est un polygone simplement connexe intérieur à l’ellipse;

b) ses côtés intérieurs à lellipse (que nous supposerons rectilignes) sont deux à deux conjugués; un domaine quelconque A complètement intérieur à l’ellipse n’est rencontré que par un nombre fini de ces côtés;

c) les sommets intérieurs à l’ellipse forment des cycles fermés adventifs ou elliptiques à un nombre fini d'éléments; la somme des angles d'un cycle adventif est égale à 27, la somme des angles d’un cycle elliptique

à — (v entier);

d) quant aux sommets non singuliers silués sur lellipse, on peut toujours obtenir par un choix convenable de C, (et nous supposerons cette hypothèse réalisée dans la suite pour simplifier les discussions) qu'ils forment des cycles paraboliques réduits à un seul élément, ou des

cycles adventifs à un ou deux éléments, dont chaque angle est égal à : ’

La connaissance de P, détermine le groupe : toutes les substitutions s’obtiennent comme produits finis des substitutions qui conjuguent les côtés de première espèce (et qu’on suppose choisies s’il y a ambiguïté).

Les quatre conditions a, b, c, d, sont-elles nécessaires et suffisantes, autrement dit peut-on obtenir ainsi tous les groupes fuchsoïdes? On sait que la réponse est affirmative dans le cas d’un nombre fini de côtés, et on a alors un groupe fuchsien. Dans le cas d’une infinité de côtés, nous nous contenterons de former une condition suffisante, qui permettra de construire des exemples de groupes fuchsoïdes présentant les propriétés mentionnées plus haut; nous adjoindrons aux conditions a, b, c, d, la condition e) suivante

e) la borne inférieure des distances non euclidiennes des points appartenant à deux côtés non consécutifs de P, est un nombre positif (5) 5: