Il en résulte que les longueurs des côtés sont

la borne inférieure des angles de P, relatifs aux sommets intérieurs à l’ellipse est un nombre positif a.

Soit P, vérifiant a, b, c, d, e, et soient T, les substitutions, deux à deux inverses l’une de l’autre, qui conjuguent les côtés de première espèce. Nous allons montrer, en adaptant la démonstration correspondante de Poincaré pour les groupes fuchsiens, que le groupe G formé par les produits finis des T; est proprement discontinu à l’intérieur de l’ellipse fondamentale. (Cretatou [ll ep. 425)

À une substitution U, produit fini des T;, correspond une chaîne finie de polygones P,, P,, … P,, deux à deux adjacents suivant des côtés de première espèce et équivalents par rapport à G. Il faut montrer que tous ces polygones sont non empiétants et recouvrent l’ellipse.

Soit a intérieur à P,, et b quelconque intérieur à l’ellipse. Montrons que b appartient à un P,. Sinon, parcourant ab de a vers b, on rencontrerait une infinité de polygones P;, et on aurait sur ab une infinité de segments consécutifs s;, s, étant limité par le premier point de pénétration dans P; quand on va de a vers b, et par le dernier point de sortie de P;,(5). La longueur /; de 5, > 0 quand >. Soit n tel que, pour ne , et construisons l’homologue de ab par la substitution qui transforme P, en P,.

s,a pour homologue un segment se” dont les extrémités €, e’ se trouvent nécessairement sur deux côtés rectilignes consécutifs AB, BC de P,, puisque £e” < à.

Les segments consécutifs de s, ont pour homologuese’e" ,e"e"... , et