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sommet intérieur à l’ellipse, B > a, donc Be” < DHL c'e” sous-tendait, dans

Fig. 5 Fig. 4 d

le polygone P; adjacent à P, le long de BC, le sommet C, on aurait : «"B<Ke'e +e B<<5, ce qui est contraire à la condition (e).

Si B est sur l’ellipse, c’est nécessairement un sommet parabolique, les deux côtés qui y aboutissent étant conjugués. B— 0, et la démonstration ci-dessus ne s’applique plus. Mais, si s’e” sous-tendait C et que C soit sommet intérieur, on serait ramené au cas précédent pour les segments consécutifs de &’e”. Si C est sur l’ellipse, ce ne peut être pour P, un sommet parabolique, puisqu'il devrait y aboutir deux côtés conjugués et que le conjugué de BC est BA. C’est donc pour P, un sommet adventif, intersection d’un côté rectiligne et d’un côté de deuxième espèce, ou un sommet singulier. Il en est de même de A pour P,, et par suite de C pour P,, puisqu'on passe de P, à P, par la substitution qui amène AB en CB. Dans les deux cas on voit que dans P, il n’aboutit en C d’autre côté rectiligne que BC, et &’e” ne peut sous-tendre C.

En définitive, si b n’était pas intérieur à un P,, il existerait une infinité de segments consécutifs, sous-tendant le même sommet B intérieur ou parabolique, et aboutissant en un point intérieur à l’ellipse : c’est impossible car, si B est intérieur, il n’y a qu’un nombre fini de polygones assemblés autour de B; si B est parabolique, les côtés issus de B tendent vers B.

Tout point intérieur à l’ellipse est donc. intérieur à un polygone de la famille ou sur son contour.

Il reste à montrer que ces polygones sont non empiétants. Moyennant l'hypothèse e) la démonstration de ce fait donnée pour les polygones fuchsiens peut être reprise sans changement. (Fatou, [1], p. 129.)

Remarque : Comme les groupes fuchsiens, on partagera les groupes fuchsoïdes en deux classes : les groupes de la première classe sont ceux qui ne sont pas proprement discontinus sur l’ellipse, les groupes de la

deuxième classe ceux qui sont proprement discontinus sur certains arcs de l’ellipse.

Si P, admet des côtés de seconde espèce, le groupe correspondant G est nécessairement de seconde classe. La réciproque est vraie : si G est de seconde classe, son polygone rayonné P, admet au moins un côté de deuxième espèce (7).

Dans ce cas, en revenant au plan complexe (z), et supposant que G laisse Ox fixe, on sait que G est proprement discontinu dans le domaine formé par le plan (z) privé des points d’un ensemble parfait totalement discontinu situé sur Ox. P, devient un polygone situé dans d (z) > 0 et dont certains côtés sont des segments de Ox. L'ensemble de P, et du polygone symétrique par rapport à Ox forme un domaine fondamental pour le groupe G considéré dans le plan (z). Ce domaine est connexe, mais en général n’est pas simplement connexe.