Exemples de groupes fuchsoïdes

Nous raisonnerons dans le demi-plan d (z) > 0. Soient quatre points a, b, c, d, de Ox se succédant dans cet ordre, et soient les deux droites, non

bc C concourantes, (ab), (cd). Il est clair que si cb > k (ou mx > k), ab, bc, cd désignant les segments de Ox, la plus courte distance des deux droites

(ab), (cd) reste supérieure à un nombre positif f (k) — à.

b c Fig.6

En effet, laissant a, b, c, fixes, faisons varier d à droite de c : la plus courte distance minima est obtenue quand d est à l'infini et ne dépend

C ; que du rapport D: c’est une fonction croissante de ce rapport.

Soit dès lors une suite infinie s,, s,, …, $, … de segments consécutifs

de Ox, s, ayant pour origine A, à distance finie; soit /, la longueur

reste compris entre deux

nombres positifs fixes k et k’. On peut prendre par exemple = A

de $,. Supposons que Xl, < % et que

(æ > 1). Les extrémités de s, tendent vers un point limite S.

Considérons le polygone P, limité par les droites non euclidiennes construites SUT S4, Sas ce Santa » +, €t Par S>, 54, … et la portion de Ox extérieure à AS, qui forment les côtés de deuxième espèce; et faisons une

7. On le voit en adaptant la démonstration donnée dans Fatou pour les groupes fuchsiens (Fatou, [1], p. 120-121). On utilisera la convexité du polygone rayonné.

convention de conjugaison pour les côtés de première espèce, par exemple celle indiquée sur la figure 7. P, n’a que des sommets adventifs et un

TE > 0 A S$2 S3 Sy, S5 Se S7 S La

Fig.7

sommet singulier S. La plus courte distancé de deux côtés rectilignes quelconques étant supérieure à un nombre positif fixe, P, est polygone fondamental d’un groupe fuchsoïde (5). En $S aboutissent à la fois un côté de seconde espèce et une ligne polygonale formée d’une infinité de côtés. Les figures ci-dessous, construites de la même manière, donnent des exemples de sommet S où aboutissent, soit une ligne polygonale et un côté de première espèce, soit deux lignes polygonales.

Fig. 8

La condition imposée au rapports de deux !?, consécutifs n’est pas nécessaire dans tous les exemples donnés : une étude directe montrerait simplement que, sans elle, les constructions indiquées fig. 7, 8, 9, 11 conduisent à des domaines fondamentaux de groupes fuchsoïdes. La condition, qui est peu gênante, est introduite pour qu’on soit assuré du même résultat dans tous les cas (même lorsqu'il existe des sommets intérieurs et des sommets paraboliques).

Dans les figures 7, 8, 9, les extrémités des s$, sont des sommets adventifs et se répartissent en cycles ouverts à deux éléments.

Sur la figure 8 le point B, intersection d’un côté de première espèce et d’un côté de deuxième espèce, forme un cycle à lui seul, car le polygone adjacent à P, le long de Bœ a en B un sommet singulier; le point à l'infini est un sommet parabolique formant un cycle à un seul élément.

8. Et même d’une infinité, puisqu'il existe une infinité de substitutions qui transforment le côté (ai b,) en le côté (dic;), a;, bi, &, diétant sur O x.

On peut former de même un polygone P, ayant une infinité de sommets paraboliques et de sommets adventifs : on prend pour côtés rectilignes les droites non euclidiennes construites sur s,,:,, S,,:, et pour côtés de seconde espèce les segments S, et la portion de Ox extérieure à AS; deux côtés rectilignes consécutifs sont conjugués.

Les sommets paraboliques forment des cycles fermés à un seul élément, les sommets adventifs des cycles ouverts à deux éléments.

À 5, So Sa S4 S5 Se S

Fig.10

Dans les exemples ci-dessus P, n’admet qu’un sommet singulier S. Nous allons donner des exemples de polygones admettant une infinité dénombrable de sommets du type S, et des sommets singuliers du type désigné au $ 11 par S*.

Soit un segment SS’ de Ox et deux points A et B de SS’, l’ordre de succession des points étant S A BS’. Construisons comme plus haut une ligne polygonale infinie de côtés de première ou deuxième espèce issue de À et aboutissant en $S, et une file issue de B et aboutissant en S’; et soit sur Ox une infinité de segments S, S’, non empiétants (°), sur lesquels nous faisons des constructions analogues. La plus courte distance de deux côtés rectilignes non consécutifs tracés admet la borne inférieure positive à. C’est évident par construction si les deux côtés rectilignes proviennent d’un même segment S, S’,. S'ils proviennent l’un de S; S'; , l’autre de S;, S’;, on remarque qu’il y a entre (a; b;) et (a; b;) un côté rectiligne

(c;, d;) de S;S'", tel que, par construction, B, NE La tpiusacourte distance de (a; b;) à la droite (c,;) , qui est la perpendiculaire euclidienne en c; à Ox, est donc supérieure à f (k) — à, et il en est a fortiori e a s Te . SMS ENST SE Fig. 11

de même de la plus courte distance de (a; b,) à (a, b;). Soit P, le polygone admettant comme côtés de première et deuxième espèce les côtés construits sur les segments S; S’;, et admettant aussi comme côtés de deuxième espèce les segments de Ox extérieurs à l’ensemble des S; S’; P, est le polygone fondamental d’un groupe fuchsoïde.