Les segments peuvent être consécutifs

Il admet comme sommets singuliers du type S les extrémités en infinité dénombrable des segments S,; S’; et comme sommets singuliers du type

SAC Rd RS US NC OU ARS NE Fig. 12

S* les points d’accumulation des $,; et S’,. Ces derniers points peuvent être en nombre fini, en infinité dénombrable, ou former un ensemble qui a la puissance du continu. On a un exemple de ce dernier cas en prenant comme S; S’; les segments enlevés de (0,1) pour former l’ensemble triadique de Cantor.

On forme enfin facilement des exemples de groupes fuchsoïdes admettant des sommets intérieurs : il suffit, revenant par exemple à la figure 7, de tracer à l’intérieur de chacun des demi-cercles euclidiens, une suite finie de côtés de première espèce, les deux extrémités a;, b; de la suite étant sur Ox, et les côtés étant deux à deux conjugués dans chaque

A di b; E

Fig. 1e

suite, donc en nombre pair. On suppose de plus que les conditions relatives aux cycles, aux distances de deux côtés non consécutifs, et aux angles, sont vérifiées. Le polygone P, limité par ces côtés de première espèce, et ayant comme côtés de seconde espèce les portions de Ox non couvertes par les segments a, b;, est le polygone fondamental d’un groupe fuchsoïde.

14. —— Extension par les substitutions du deuxième type. —— Relations fondamentales :

On peut étendre les groupes fuchsoïdes, comme les groupes fuchsiens,

par l’adjonction de substitutions de la forme z — f (z) &),f (z) permutant l’intérieur et l’extérieur du cercle [z| — 1 (ou les demi-plans J (z) > 0 et

10. Ces substitutions seront appelées substitulions du deuxième type, et celles considérées jusqu'ici substitutions du premier type.

JU) AO): et 7’ désignant le symétrique de z° par rapport au cercle [zl "| (ou par rapport à l’axe réel).

Le groupe étendu G contient un groupe fuchsoïde G qui, pour G,. est sous-groupe invariant d'indice 2. La méthode du rayonnement permet

encore de déterminer un polygone fondamental P,. Si G renferme des symétries, P, admet des côtés appartenant à l’un au moins des axes de

symétrie de chaque classe. (Fatou, [1], p. 132.) Les côtés intérieurs de Pa deux à deux conjugués, peuvent l’être par des substitutions du premier ou deuxième type, et on dira suivant le cas qu'ils sont intérieurs du premier ou du second type. Un côté porté par un axe de symétrie est son propre conjugué.

Si l’on adjoint à P, le polygone P’, adjacent le long d’un côté intérieur du second type, on obtient un polygone connexe P, qui est domaine fonda-

mental pour le groupe G. Pour que le groupe étendu és correspondant à

us

P, soit proprement discontinu, il suffit que le polygone P, satisfasse aux conditions suffisantes de discontinuité propre d’un groupe fuchsoïde, que nous avons établies plus haut.

On obtient enfin pour un groupe fuchsoïde comme pour un groupe fuchsien les relations fondamentales qui lient les substitutions génératrices. À chaque cycle de sommets intérieurs correspond une relation fondamentale. Ces relations, qui peuvent être en nombre infini, sont indépendantes, et toute autre relation qu’on pourrait obtenir en serait une conséquence.

B. -— Fonctions automorphes générales.

15. — G étant un groupe automorphe, fuchsien ou kleinéen, dont le polygone générateur a un nombre fini de côtés, et D un domaine du plan analytique invariant par les substitutions du groupe, on sait qu’on définit les fonctions automorphes correspondant au groupe G et au domaine D comme les fonctions possédant les trois propriétés suivantes :

a) : elles sont méromorphes dans D; b) : elles prennent la même valeur en deux points quelconques de D équivalents par rapport à G; c) : elles ne prennent une valeur donnée arbitrairement qu’en un nombre fini de points de D non équivalents par rapport à G.

Pour un groupe automorphe dérivé d’une infinité de substitutions génératrices, par exemple pour les groupes fuchsoïdes étudiés ci-dessus, il n’existe pas en général de fonctions possédant les trois propriétés a, b, c. Nous élargirons la définition en appelant fonctions automorphes toutes les fonctions qui possèdent les deux propriétés a et b.

On peut en obtenir comme quotients de fonctions ® de Poincaré. a, z + b, Col

On appelle fonction @ appartenant à l’exposant m toute fonction méromorphe dans D vérifiant les équations fonctionnelles

Le procédé le plus simple de construction de fonctions @ consiste à utiliser les séries @ de Poincaré.

Supposons la frontière de D à distance finie. Soit H(z) une fonction

Soient T, z — les substitutions de G.

analytique uniforme (et non simplement rationnelle) dans le domaine D, y admettant un nombre fini de pôles et de points singuliers essentiels isolés, et qui reste bornée quand z tend vers les points de la frontière de D où le groupe n'est pas proprement discontinu.

La série :

ENCAE S: H (T, z) ( avec m > 2 1, converge uniformément dans tout domaine fermé A intérieur au domaine ND et ne contenant aucun point équivalent à z — ©, ni aucun point équivalent aux pôles ou points singuliers de H (z). En effet, dans A les H (T, z) véri- (MC nl dz

ñn

d'Al: =) dz

fient une inégalité |H (T, 2) | <M, et on sait que la série

converge uniformément dans À si m > 2.

Si z tend vers un point z, équivalent à un pôle ou un point singulier essentiel isolé de H (z) (nous supposons ces points non équivalents à z — ©), il n’y a dans la série Ÿ qu’un nombre fini de termes qui présentent une singularité, et il y en a un seul si z, n’est pas un point double d’une substitution de G, et si H(z) n’admet pas deux points singuliers équivalents pat rapport à G. Dans ce cas on est sûr que © (z) admet en z, un pôle ou un point singulier essentiel isolé; si la condition n’est pas remplie, plusieurs pôles ou points essentiels peuvent se détruire mutuellement.

On voit de même que les points équivalents à z = © sont pour @ (z) des pôles ou des points réguliers.

La série © définit donc une fonction analytique dans D, n’admettant dans tout domaine complètement intérieur qu’un nombre fini de pôles ou de points essentiels isolés; et, en choisissant convenablement les singularités de la fonction génératrice H (z), on est assuré que les singularités de @ ne se réduisent pas entre elles, et par suite que @ n’est pas constante. On vérifie d'autre part que @ (7,2) = (c,z + d,)°" 0 (27.

Si H(z) n’admet dans D comme singularités que des pôles, @ (z) est méromorphe dans D. Donc, à l’aide de fonctions génératrices H (z) méromorphes dans D, on peut construire une infinité de séries @ qui sont des fonctions © appartenant à un exposant arbitraire m > 2.

Le quotient de deux fonctions @ ainsi construites et appartenant au même exposant est une fonction automorphe de G dans D.

16. — Allure d’une fonction automorphe x (z) au voisinage d’un sommet elliptique ou parabolique de P, (‘1).

Soit « un point fixe elliptique de G; les substitutions correspondantes

z'—0 TZ —% ré z'—x —el — .,Si on pose Ps

æ(z) devient une fonction de Z méromorphe au voisinage de Z—=0 et

sont des puissances de

2 ir

invariante par la substitution Z’—=e 7 Z. Donc æ(z) est développable en Série suivant les puissances de Z'= tft : x (2) = PF (a Fat +..).

c fu Si « est un sommet de P, (2?) formant cycle à lui seul, la variable Se =) est la variable principale qui représente un petit triangle de P,, de sommet «, limité par les deux côtés conjugués issus de « et un arc de trajectoire de la substitution elliptique, sur un cercle du plan ({) centré à l’origine.

Pour étudier x (z) au voisinage d’un sommet parabolique B de P,,

formant cycle à lui seul, et correspondant à la substitution 5 — HO Ys

(l 257 Le on utilise la variable principale {—e +, 2: ,le signe + ou — étant

choisi de manière qu’un petit triangle de P,, limité par les deux côtés

issus de B et un arc de trajectoire de la substitution parabolique, ait pour

image dans le plan ({) un petit cercle C de centre {— 0. x (z) devient par

ce changement une fonction méromorphe œ(f) dans le cercle C privé de

son centre, mais { — 0 peut être pour œ (f) un point singulier essentiel.

17. — Étudions les groupes pour lesquels il existe des fonctions automorphes vérifiant la condition suivante analogue à la condition c) toute valeur prise l’est en un même nombre fini de points non équivalents.

Soit x (z), fonction automorphe de G, prenant w fois chacune de ses valeurs dans P,, et soit À le domaine simple du plan (x) formé par les valeurs de la fonction. Soit y (z) une fonction automorphe quelconque du groupe G.

À une valeur de x appartenant à À correspondent w valeurs Z;,, z:, … Z : d’un domaine fondamental P;, donc y valeurs y,, y, … y,. Les fonctions symétriques des y; sont évidemment des fonctions analytiques de x, uniformes et méromorphes dans A. Donc + et y sont liés par une relation : A,(æ)y* + … + A, — 0 , les A désignant des fonctions méromorphes de x dans A; y est une fonction algébroïde, ou en particulier algébrique,