Cf. Fatou, [1], p

14. Ou éventuellement sur la portion F de surface de Riemann qui se projette en A sur le plan (x).

15. En ne considérant comme appartenant à P, que les points intérieurs au domaine D. Si, comme ci-dessous, on ajoute à P, ses sommets paraboliques, leurs homologues sont intérieurs à la surface F correspondante, et on doit considérer aussi les fonctions régulières sur F sauf en ces points, qu’elles peuvent admettre comme points singuliers essentiels isolés (cf. chap. 111).

graphique z’ de chaque branche de z, qui, au voisinage d'un point quelconque de la surface, admet un développement de la forme

z! = 7 (1 + ar + ar? + …) pour un point de F qui ne correspond pas à un sommet elliptique ou parabolique:

z= T7} (1+ B,r+ .…) pour un point de F qui correspond à un sommict

me 2x elliptique d’angle Ta ;

z” = log 7 + y;7r + y, 7° + … pour un point de F qui correspond à un sommet parabolique. Les sommets paraboliques correspondent bien à des points frontière isolés de F, qu’on peut rajouter à la surface et qui deviennent points intérieurs de F : en effet, { désignant la variable principale comme dans le $ 16, la fonction œ (f) qui représente x (z) au voisinage du sommet parabolique est nécessairement méromorphe pour { = 0, puisqu'elle ne prend qu’un nombre fini de fois chacune de ses valeurs.

On voit donc que la représentation que fait z de F sur le réseau des polygones est conforme (1), sauf aux points qui correspondent aux sommets elliptiques et paraboliques.

Ces remarques permettent de préciser les groupes pour lesquels il existe des fonctions x (z) prenant y fois dans P, toute valeur prise : F désignant une surface de Riemann algébrique ou algébroïde quelconque et signée, c’est-à-dire sur laquelle on a marqué des points e; qui doivent correspondre

à des sommets elliptiques d’angle . ou à des sommets paraboliques, le

groupe G de monodromie des fonctions linéairement polymorphes sur F, qui représentent F sur un réseau de polygones équivalents (17), répond à la question, et tout groupe de la catégorie considérée peut être obtenu de cette manière.

Remarque : Nous avons supposé dans ce qui précède y > 1. Nous verrons au chapitre IV des exemples de fonctions automorphes prenant une seule fois dans P, chaque valeur prise.

Il est clair d’autre part que si certaines fonctions du groupe G prennent u fois dans P, chaque valeur prise, il n’en est pas de même de toutes les fonctions automorphes de G.

18. — Les résultats précédents peuvent être retrouvés par une méthode applicable à tous les groupes automorphes.

x (z) étant une fonction automorphe quelconque du groupe, considérons le domaine des valeurs prises par x quand z, intérieur à D, appartient à

16. Avec la définition élargie de la représentation conforme pour le cas des points de ramification : c’est le cercle à 1 feuillet du plan (+) qui est représenté conformément sur le plan (z).

17. Nous verrons plus loin l’existence de groupes fuchsoïdes de cette espèce.

18. Nous supposons z intérieur à D parce qu’il n’est pas fait d’hypothèse sur x (z) au voisinage des sommets paraholiques. Avec des conditions de régularité, on peut ajouter à P, ces, sommets et à S les points correspondants.

P, (48). Ce domaine recouvre le plan (x) en totalité ou en partie, un nombre fini ou infini de fois.

Faisons coïncider les points du domaine correspondant à des z équivalents (donc appartenant à des côtés homologues); on obtient ainsi une surface de Riemann $S homéomorphe à la surface obtenue en réunissant l’un à l’autre les côtés homologues de P,;.

Les fonctions automorphes du groupe sont les fonctions analytiques de x uniformes sur S. z, considérée comme fonction d’un point analytique de S, est une fonction linéairement polymorphe qui représente conformément $S sur un réseau de polygones, la représentation cessant d’être conforme aux points de S qui correspondent à des sommets elliptiques, s’il y en a. zest pour S une variable uniformisante.

On sait que toute surface de Riemann est uniformisable par les fonctions automorphes. On voit que réciproquement tout groupe automorphe peut être considéré comme lié à l’uniformisation d’une surface de Riemann, et cela d’une infinité de façons, puisqu'on peut prendre pour æ(z) une fonction automorphe quelconque du groupe.

S étant une surface de Riemann quelconque signée, nous verrons au chapitre suivant qu'il existe des fonctions z linéairement polymorphes représentant S sur un réseau de polygones.

Ces fonctions linéairement polymorphes sur S vérifient une équation

différentielle du troisième ordre : en effet, l’invariant différentiel de Schwarz af) est une fonction analytique uniforme sur S. Si on suppose que les points de ramification de S sont distincts des points à l'infini et des points qui correspondent aux sommets elliptiques ou paraboliques, on Le

voit que les singularités de af) sur S sont les suivantes

un pôle d’ordre 2 v en chaque point de ramification d’ordre v — 1, avec | AE —2V un terme principal rl ;

un pôle d’ordre 2 en chaque point critique de z (point correspondant

: rs ; Z\ à un sommet elliptique ou parabolique). A (2) présente d’autre part un zéro

du quatrième ordre en chaque point ordinaire à l'infini (Fatou, [1], p. 272). Ces propriétés ne suffisent pas à déterminer la fonction analytique uniforme sur $ qui est égale à a(*).

Par exemple, pour la surface algébroïde hyperelliptique de y? =] [(x-a) e(”,une fonction linéairement polymorphe sans points crii=1

tiques vérifie une équation de la forme

Zz N a(%)= M + 7 M et N désignant des fonctions méromorphes de x.

z a(*) n’a pour pôles que les points a;; chaque point a, est pôle d’ordre 4

no RP avec un terme principal S G=Vx— a;).

On en déduit seulement que N est une fonction entière et que M admet

les pôles x — a; avec pour terme principal g(® — 4)".