Coupures canoniques

Soit D le domaine simplement connexe du plan (x) dans lequel est définie une fonction algébroïde à m branches, et soit F la surface de Riemann correspondante. F est supposée connexe. On peut toujours supposer, à l’aide d’une représentation conforme préalable, que le domaine D est l’intérieur du cercle [x] — R. R peut être fini ou infini. Ce dernier cas est celui des surfaces de Riemann des fonctions algébroïdes entières.

F est une surface à m feuillets égaux projetés sur D et réunis en des points de ramification, en nombre en général infini. Les projections des points de ramification ne s’accumulent que sur la frontière de D. Nous considérons F comme la limite de la suite de surfaces F,, F, désignant la portion de F projetée sur le cercle La <R,, et R, une suite croissante qui tend vers R, telle que le cercle | — li ne contienne pas de projection de point de ramification, On prendra pour lignes de passage des demidroites ou segments joignant les points de ramification à la frontière de F, et tracés de manière que deux lignes de passage quelconques ne se

1. Nous employons cette expression abrégée au lieu de : uniformisation des fonctions analy-

tiques uniformes sur une surface algébroïde.

2. Cf., par exemple, Fatou, [1], chap. xvr, et Kœbe, [2], p. 93 et suivantes.

rencontrent pas, et que les lignes correspondant aux points de ramification projetés à l'extérieur du cercle x] — KR, ne pénètrent pas dans F,.

On suppose de plus que F a la propriété suivante : il est possible de choisir la suite R, de manière que la frontière de chaque F, soit formée d’une seule courbe (qui se projette sur le cercle |æ| — R, parcouru m fois). Pour une surface algébroïde à deux feuillets qui a une infinité de points de ramification, on ne restreint pas la généralité en supposant cette condition remplie : il ne pourrait y avoir exception que si, à partir d’un certain rang, les points de ramification se répartissaient en paires de points dont les projections seraient équidistantes de O : on ferait dans ce cas un changement d’origine dans le plan (x) si R = «, ou une représentation conforme du cercle |æ| < R sur lui-même si R est fini.

Chaque F, est une surface à bord (munie de son bord) ou ce que Stoïlow appelle un domaine polyédrique (Stoïlow, [1], p. 81); et la suite F, forme une suite de domaines polyédriques d’approximation de F (Stoïlow, [1], p. 87), puisque F,,, — F, est'formé d’un nombre de domaines (ici 1) égal au nombre de contours qui limitent F,.

Appelons avec Stoïlow genre d’une surface à bords (*) le nombre maximum p de courbes simples fermées disjointes que l’on peut tracer sur la surface sans la morceler. Une surface à bords limitée par { contours a pour ordre de connexion N — 2p + I. Cette définition du genre coïncide bien avec celle donnée habituellement pour les surfaces fermées : étant donnée une surface fermée, on y pratique une fenêtre pour lui donner un bord; la surface obtenue a un ordre de connexion impair N et on appelle

N—1 genre le nombre Fou

Au moyen de la suite F, on peut obtenir une représentation canonique (Stoïlow, [1], p. 98) de la surface F. Partons de F, et soit p, son genre; traçons sur F, p, courbes simples fermées disjointes y'i qui ne le morcellent pas; on obtient ainsi une surface de genre 0, à 2p, + 1 bords, qu’on représente sur un domaine plan contenant le point à l'infini et limité par 2p, + 1 cercles extérieurs les uns aux autres : le cercle C,; qui correspond au bord initial de F, est centré sur l’axe réel, les deux cercles ['; qui correspondent aux deux bords d’une courbe y'; sont symétriques par rapport à l’axe réel, deux points de ces cercles symétriques par rapport à l’axe réel correspondant à deux points en regard sur les deux bords de y'i

On représente ensuite d’une manière analogue F, — F;, à l’intérieur de C,, et à l’extérieur d’un cercle C;, correspondant au bord de F,, et ainsi

de suite.

3. Cette définition peut se donner pour une surface quelconque. Cf. Stoïlow, [1], p. 84.

A l'aide de cette représentation canonique on peut définir de proche en proche un système canonique de coupures transformant F en une

surface simplement connexe F”.

Fig. 14 Fig. 15

On commence par transformer F, en une surface simplement connexe F”’, par p, systèmes de coupures (a, b, c) figurés sur la représentation canonique, fig. 14, et auxquels correspondent sur F, des systèmes représentés fig. 15, analogues à ceux utilisés par Riemann dans la théorie des fonctions algébriques (Appell et Goursat, [1j, p. 226 et suivantes).

On transforme ensuite F, — F, en un domaine doublement connexe par des systèmes de coupures analogues aux précédents : sur la représentation canonique ces systèmes de coupures aboutissent tous à C,, puis on supprime C, et on prolonge jusqu’à C, les coupures qui y aboutissent.

F, est ainsi transformée en F’, simplement connexe par p, systèmes (a;, b;, c:), p, désignant le genre de F, (4). On peut les supposer numérotés de 1 à p, de telle sorte que les extrémités des coupures (c;) se succèdent sur la frontière de F, parcourue dans un certain sens dans l’ordre des indices croissants.

Le même procédé peut être continué indéfiniment : pour passer d’une surface F, à la suivante F,,,, on ne modifie pas dans F, les coupures déjà tracées; on trace dans F,,, — F, de nouvelles coupures, puis on prolonge les coupures déjà tracées dans F,.

A la limite, F est transformée en une surface simplement connexe F’ par un nombre en général infini de systèmes de coupures (a, b, c). Le nombre n’est fini que si F a un nombre fini de points de ramification (5).

4. On vérifie sans peine (cf. chap. v) que le genre de F2 est égal à la somme des genres de Fet F:-F,. à 5. Dans ce cas, F est une portion de surface algébrique.

20. — Construction de F°: Pour définir la surface de recouvrement F®, nous allons assembler des exemplaires égaux à F” à la manière des polygones d’un réseau de polygones fuchsoïdes.

Etant donné un système de coupures (a, b, c), marquons ses trois sommets «&, B, y et numérotons les huit côtés dont il est formé. Construisons dans le demi-plan J(z) > 0 un polygone fuchsien de seconde classe, ayant huit côtés de première espèce associés entre eux comme les huit côtés du système (a, b, c).

Fig.16

Le ‘côté (8) est le transformé de -(1) par T,, (4) de (2) par T (5) de (7) par Tw, et (6) de (3) par T,. Les sommets marqués a forment un cycle adventif à deux éléments de sommets de seconde espèce, les sommets 8 un cycle adventif à trois éléments de sommets intérieurs, et les sommets y un cycle adventif à 4 éléments.

Les quatre substitutions génératrices sont liées par deux relations fondamentales correspondant aux deux cycles de sommets intérieurs et qu’on obtient sans difficulté. (Fatou, [1], p. 198) :

Dre lil D PAT UT

La possibilité de construction du polygone s'établit par exemple en considérant une surface algébrique de genre 1 rendue simplement connexe par le système de coupures (a, b, c,) et sur laquelle on cherche une fonction linéairement polymorphe ayant en a un point critique qui correspond à un sommet parabolique. On sait qu’il existe une fonction linéairement polymorphe représentant la surface algébrique ainsi coupée sur un polygone fuchsien. Remplaçons dans ce polygone les 2 côtés aboutissant en a par 2 côtés aboutissant en des points distincts de Ox, et cela sans modifier la somme des angles du cycle B; le polygone obtenu est encore un polygone fuchsien, puisque les côtés de première espèce vérifient les conditions de conjugaison et les conditions relatives aux cycles.

A l’aide de ces remarques nous allons maintenant construire un polygone fuchsoïde homéomorphe à F’. Nous emploierons la méthode du

$ 13. Soit sur Ox une infinité de segments $,, 8, 8, …, s, …, tous intérieurs à un segment A B, se succédant dans l’ordre de leurs indices, et tels que les « droites » non euclidiennes construites sur les 5, soient à distance > 5 les unes des autres.

A l’intérieur du demi-cercle euclidien de diamètre s,, construisons une file de huit côtés de première espèce, conjugués comme ci-dessus, qui seront les homologues des côtés du système (a,,b,,c,). On suppose de plus que les conditions suffisantes de discontinuité propre sont vérifiées.

On obtient ainsi un polygone fuchsien ou fuchsoïde de seconde classe suivant que F a un nombre fini ou une infinité de points de ramification.

Soit P le polygone obtenu après transformation du demi-plan J (z) > 0 en le cercle [z| < 1. Ce polygone, ou plus exactement la partie de ce polygone située à l’intérieur du cercle [zl = 1, est homéomorphe à la surface coupée F’. Pour définir la correspondance entre les points du polygone et les points de F”, on considère F” comme la limite des surfaces F',, F',,,, rencontrées dans le tracé des coupures, et on définit de proche en proche une correspondance bicontinue et biunivoque de ces surfaces avec des portions P,, P,,,... du polygone telles que P, € P,,,, et que la limite de la suite P, soit P. On fait correspondre aux côtés du système de coupures (a, b,c,) les côtés construits sur s,.

Un bord d’une coupure de F’ correspond ainsi à un côté intérieur bien déterminé de P. Il ne reste qu’à assembler des exemplaires identiques à F’, reliés entre eux suivant les bords des coupures comme sont reliés suivant les côtés intérieurs tous les polygones équivalents à P. P étant un polygone fuchsoïde, le réseau des polygones couvre le cercle [zl <eal;ret la surface de recouvrement obtenue, soit F ©, est simplement connexe (5).

B. — Surfaces algébroïdes quelconques.

21. — Soit F une surface algébroïde quelconque. Pour n’avoir pas de difficultés dans la construction d’une surface de recouvrement simplement connexe, nous emploierons le système de coupures indiqué par Kæœbe pour une surface de Riemann quelconque (Kœbe, [2], p. 93 et suivantes). La méthode s’applique en particulier aux surfaces qui ont fait l’objet de la section A.

Considérant F comme limite d’une suite de: surfaces F, d’ordre de connexion fini, ou la transforme en une surface simplement connexe F’ au moyen de coupures qui ne se terminent pas à l’intérieur de F, comme certaines coupures de la section précédente, mais dont au contraire Les

6. La méthode exposée dans cette section À s'applique à toute surface de Riemann S qui peut

S = lim Sn N—=0CO

ce procédé au cas d’une surface quelconque, mais nous nous contenterons, pour simplifier,

d'employer dans ce cas la méthode de Kæbe.

être définie par ,; Chaque Sn étant limitée par une seule courbe. On pourrait étendre

extrémités tendent vers la frontière de F : c’est-à-dire que, lorsqu'un point M parcourt une coupure, dans un sens quelconque, M arrive à rester dans la portion de F extérieure à une surface quelconque F, de la suite, si grand que soit son indice. Si l’on voulait établir comme dans A une correspondance entre F’ et un polygone fuchsoïde, on utiliserait un polygone n'ayant pas de sommets intérieurs. Mais cela n’est pas nécessaire ici : on assemble des exemplaires égaux à F’, reliés suivant les bords des coupures, chaque nouvel exemplaire étant relié à l’assemblage déjà obtenu suivant un bord libre et un seul. Cette convention rend évidente la simple connexité de la surface de recouvrement F © ainsi formée.

Les surfaces de recouvrement précédemment construites suffisent pour établir la possibilité de l’uniformisation : elles permettent de représenter F sur un réseau de domaines fondamentaux d’un groupe automorphe par une fonction z, linéairement polymorphe sur F, et n’y admettant pas de points critiques.

On peut aussi, comme dans la théorie des surfaces algébriques, chercher à déterminer une fonction z linéairement polymorphe sur F, mais

Fig. 17

admettant des points critiques en des points isolés donnés e, de F, en nombre fini ou infini, qui deviendront par la représentation des sommets € ZT

elliptiques d’angle GE donné ou des sommets paraboliques. On utilisera

pour cela les coupures définies dans la section B, auxquelles on adjoindra des coupures issues des points €, et dont l’autre extrémité tend vers la frontière de F. Nous pouvons par exemple supposer les coupures formées d’arcs analytiques, chaque portion de coupure située dans F, étant formée d’un nombre fini d’arcs. Dans la réunion des exemplaires égaux à F’, les coupures issues des points €, correspondant à des sommets paraboliques (l,—= )se comportent comme les coupures dont les deux extrémités tendent vers F. Pour les coupures issues des points e, correspondant à des sommets elliptiques (/, fini), on fait la convention suivante : lorsqu'on réunit à l’assemblage déjà formé un nouvel exemplaire le long d’un bord d’une telle coupure, on réunit aussi les ( l, — 2) autres exemplaires,

comme sont assemblés entre eux, autour d’un sommet elliptique

d’angle l,. polygones d’un réseau fuchsien ou fuchsoïde. Le dernier

exemplaire placé est réuni à l’assemblage déjà formé par deux bords de coupures à la fois; mais on voit que F © reste simplement connexe.

Un point e, correspondant à un sommet parabolique est pour F® un point de ramification d’ordre infini; c’est donc un point frontière.

Un point e, correspondant à un sommet elliptique d'angle est

un point de ramification de F®. Si e, est pour F point de ramification d'ordre » — 1, il est pour F® point de ramification d’ordre v l, — 1.