C. — Théorème fondamental

22. — Théorème : Sur une surface de Riemann S de genre > 1, il existe une fonction linéairement polymorphe admettant des points critiques e, isolés donnés, représentant la surface rendue simplement connexe par un système convenable de coupures sur un domaine fondamental d’un groupe

fuchsoïde, et faisant correspondre aux points e, des sommets elliptiques

d'angle donné ou des sommels paraboliques.

La surface de Riemann S étant en effet transformée en une surface simplement connexe S’ par le procédé indiqué dans la section B, ou dans la section A lorsque c’est possible, on définit la surface de recouvrement S® et on en fait une représentation conforme sur le cercle [z| < 1. On ne peut avoir une représentation sur le plan entier ou le plan pointé, car on serait conduit à des groupes de genre 0 ou 1, et S devrait être de genre 0 ou 1(7). D'ailleurs même pour une surface de genre 0 ou 1, mais où l’on a marqué un nombre suffisant de points critiques (5), on est assuré d’avoir une représentation de S® sur le cercle [z| A de

S © possède une infinité de transformations conformes et biunivoques en elle-même, formant un groupe T : on les obtient en faisant correspondre à un point d’un exemplaire S’, le point homologue dans un exemplaire S’, et en étendant par continuité la correspondance à toute la surface S ®. Chaque exemplaire S’;, est représenté sur une portion P, simplement connexe du cercle [zl < 1. Au groupe T' correspond un groupe linéaire G de transformations du cercle en lui-même. Les P;, équivalents entre eux par G, sont des domaines fondamentaux du groupe, qui est donc proprement discontinu à l’intérieur du cercle. G est un groupe fuchsien ou fuchsoïde. Si le genre de S est infini, ou si l’on a marqué sur $S une

7. Cf. Fatou, [1], p. 207 et 454. La définition du genre dans l’énoncé du théorème est celle

de Stoiïlow.

8. Cinq au moins si le genre est 0 un au moins si le genre est 1.

infinité de points critiques e,, on est assuré que G est un groupe fuchsoïde. La fonction z, uniforme sur S ®, qui fait la représentation, est sur S une fonction linéairement polymorphe. Elle est régulière sur S en tout point distinct des €,, car elle est régulière en tout point intérieur de S®

On montre, comme dans le cas des surfaces algébriques (Fatou, [1]; p. 451-452), qu’une transformée homographique de chaque branche de z, admet au voisinage d’un point e, de S un développement de la forme suivante, où r désigne la variable d’uniformisation locale de S :

T'lln (À + ot +...) si L, est fini ; .logr+8,7T+R,T + … si L, est infini.

Les points e, correspondant à /, fini sont transformés en des points intérieurs au cercle |z| — 1, puisque ce sont des points intérieurs de S ®. Aux deux bords de coupure partant de e, correspondent deux arcs issus du point correspondant. Ces arcs sont analytiques si les coupures sont

elles-mêmes analytiques; ils font entre eux un angle ra et se déduisent

l’un de l’autre par une substitution elliptique du groupe G. Le transformé de e, est un sommet elliptique. On voit de même qui si L, est infini, e, a pour transformé un point du cercle [| — 1 qui est point fixe d’une substitution parabolique T, du groupe G; et aux deux bords de la coupure issus de e, correspondent deux arcs transformés l’un de l’autre par T,.

Avec les coupures utilisées dans la section B, on est donc conduit à une représentation de S sur un réseau de polygones fuchsoïdes, qui ne sont pas des polygones rayonnés, et dont les côtés sont des courbes analytiques ou formées d’arcs analytiques si les coupures le sont. Les seuls sommets intérieurs sont des sommets elliptiques, et les seules relations fondamentales entre les substitutions qui lient les côtés sont de la forme

TNT.

Avec les coupures utilisées dans la section À, on est conduit à des polygones fuchsoïdes admettant des sommets intérieurs qui forment des cycles adventifs à trois ou quatre éléments. A chaque cycle adventif correspond une relation fondamentale. La somme des angles d’un cycle est bien égale à 2 7, puisque la représentation de S sur le réseau de polygones ne cesse d’être conforme qu'aux points e,, qui sont des points critiques de z, et que, dans ce cas, il n’y a pas de points €,(°). On a une idée de la forme de ces polygones en remarquant ‘que la portion de chacun d’eux

strictement intérieure au cercle [2] — 1 est homéomorphe à la portion intérieure à ce cercle du polygone fuchsoïde utilisé au $ 20. 23. — La fonction uniformisante z, évidemment déterminée à une

homographie près, dont nous avons démontré l’existence, pourrait à priori

9. On pourrait en introduire, les polygones obtenus ayant alors à la fois des sommets adventifs et des sommets elliptiques ou paraboliques.

dépendre des coupures utilisées et du mode de formation de S®. Il n’en est rien.

Théorème d’unicité (Poincaré) : Deux fonctions z et t, linéairement polymorphes sur S, y admettant les mêmes points critiques e, affectés des mêmes nombres l,, et représentant S sur un réseau de polygones fuchsoïdes, sont transformées homographiques l’une de l’autre.

La démonstration est la même que pour les groupes fuchsiens. Le théorème résulte de ce que les groupes correspondant à z et { sont isomorphes, et de ce qu’on a une représentation conforme du cercle [z| <AlrSUr le“cercle [él a le

24 — Remarques : On construit aisément des exemples de surfaces de Riemann conduisant à des groupes fuchsoïdes de seconde classe en partant d’une surface S quelconque, et en y supprimant une ou plusieurs portions simplement connexes, intérieures à $S, dont chacune est limitée par une courbe fermée de Jordan. Si l’on a percé p trous dans la surface coupée S’, il suffit, pour rétablir la simple connexion, d’adjoindre aux coupures tracées p nouvelles coupures dont une extrémité est sur le contour C d’un trou et l’autre tend vers la frontière de $S.

Quand on assemble des exemplaires identiques, on n’en assemble pas le long des courbes C limitant les trous, qui sont des courbes frontière pour S’ ainsi que pour S®°. Chacune de ces courbes est représentée sur

un arc du cercle [zl — 1. Mais la surface de Riemann est prolongeable au delà des courbes C, de même que le polygone fuchsoïde est prolongeable à l’extérieur du cercle |z} — 1 au delà de ses côtés de seconde espèce.

Nous avions vu qu’à tout groupe automorphe on peut associer une infinité de surfaces de Riemann, les fonctions automorphes du groupe n'étant autres que les fonctions méromorphes sur l’une de ces surfaces.

Inversement nous venons de montrer qu’à toute surface de Riemann signée S (c’est-à-dire sur laquelle on a marqué des points isolés €, affectés de nombres quelconques /, ) correspond un groupe fuchsoïde défini à une homographie près. Le nom de variable uniformisante donné à z est justifié par le fait que toute fonction méromorphe sur S est une fonction uniforme de z : c’est une fonction automorphe du groupe correspondant. Remar-. quons qu’en un sommet parabolique qui correspond à un point €, , une fonction méromorphe sur toute S, même aux points e,, devient avec la variable principale { du $ 16, une fonction (ft) méromorphe dans un certain cercle de centre { — 0 et méromorphe aussi à l’origine.

Pour avoir un exemple de fonction automorphe du groupe pour laquelle le développement œ(t) admette { = 0 comme point essentiel, il faut faire appel à une fonction uniforme sur S, mais admettant e, comme point singulier essentiel. L'existence de telles fonctions sera établie ultérieurement dans le cas des surfaces de Riemann algébroïdes.