CHAPITRE IV

APPLICATIONS DE L'UNIFORMISATION

25. — Nous allons appliquer les résultats du chapitre précédent à une extension du théorème de Landau, ce qui permettra d’obtenir des inégalités vérifiées par certaines fonctions linéairement polymorphes faisant la représentation d’une surface de Riemann sur un réseau de polygones fuchsoïdes. Nous étudierons d’autre part, comme fonctions de la variable uniformisante z, les fonctions uniformes sur une surface algébroïde donnée.

A. —— Théorème de Landau-Carathéodory.

26. — La méthode des familles normales, qui permet de démontrer le théorème de Landau, s'applique a fortiori quand il y a plus de deux valeurs exceptionnelles : le rayon maximum R d’un cercle de centre O où une fonction f (x), qui admet au voisinage de l’origine un développement de la forme a, + a, x + … (a,, a, donnés, a, + 0), est holomorphe et ne prend aucune valeur d'un certain ensemble E, satisfait à R <B (a, a, ; E). E comprend au moins trois valeurs, dont la valeur infinie. Il peut être fini ou infini. Si les seules valeurs exceptionnelles de f (x) dans le cercle [r| < R sont celles de E, E est fermé et son complémentaire C (E) dans un plan complexe auxiliaire ({) forme un domaine connexe D, domaine des valeurs prises.

Les rayons maxima correspondant à toutes les fonctions de la famille considérée admettent une borne exacte À (a,, a,; E), et cette borne est atteinte, c’est-à-dire qu’il existe une fonction de la famille pour laquelle R — A.

Soit en effet f, une fonction pour laquelle R, > A — RE De ia suite

f, on extrait une suite partielle qui converge vers une fonction limite f, nécessairement différente d’une constante, et pour laquelle R — A, car,

1 , dans tout cercle (x! < À — 5% f est holomorphe et ne prend aucune

valeur de l’ensemble E.

27. — L'obtention de la borne exacte est liée à un problème d'uniformisation. Nous supposons E fermé et son complémentaire D dans le plan complexe ({) connexe, ce qui ne restreint pas la généralité : si en effet f (x) ne prend aucune valeur appartenant à un ensemble E non fermé,

DZ J. COMBES

elle ne prend non plus aucune valeur de la fermeture de E; et si, E étant fermé, son complémentaire C (E) est formé de plusieurs portions connexes, en nombre fini ou infini, les valeurs prises par f se trouvent toutes dans la portion connexe D qui contient a, On peut remplacer E par C (D). Les fonctions f (x) considérées ont toutes leurs valeurs dans D, mais ne prennent pas nécessairement toute valeur de D.

On peut former, de plusieurs manières, une fonction { — x (z), holomorphe dans le cercle [z| < 1, dont le domaine des valeurs, projeté sur le plan ({), soit D, et dont la fonction inverse z = « (t), linéairement poly-

morphe, n’ait pas de point critique dans D.

On peut par exemple rendre D simplement connexe au moyen du système de coupures du chapitre précédent, section B, former la surface simplement connexe de recouvrement D © en reliant des exemplaires identiques le long des bords des coupures, chaque exemplaire n'étant relié à l’assemblage déjà formé que par un bord de coupure, et représenter, par z = o (t), D © sur le cercle [z| < 1. La possibilité d’une représentation sur le plan (z) pointé est à exclure puisque, E comprenant au moins trois points, il y a au moins trois points du plan (f) non recouverts par D°®, z est une fonction uniforme et régulière sur D®° ; considérée comme fonction de { dans D, z est linéairement polymorphe et sans point critique, puisque D®' n’admet pas de point de ramification (les points de ramification d’ordre infini qui Correspondraient à des points isolés de E ne font pas partie de D : ce sont des points frontière). D est représenté par z sur un réseau de polygones fuchsoïdes, équivalents par rapport à un certain groupe G . t = x (z) est une fonction automorphe du groupe G qui ne prend pas la même valeur en deux points non équivalents.

On peut aussi définir z comme fonction linéairement polymorphe sur une surface de Riemann, par exemple sur une surface algébroïde. Supposons que E contienne un ensemble & de points isolés, et construisons une surface de Riemann algébroïde F à m feuillets égaux à D + 6, les points de ramification se projetant sur & et aucun point ordinaire de la surface ne se projetant en un point de 6. Soit z une fonction linéairement polymorphe sur F, admettant en chaque point de ramification une singularité du type parabolique, et représentant F sur un réseau de polygones fuchsoïdes équivalents par rapport à un groupe T. z est aussi une fonction linéairement polymorphe de { dans D, et elle n’y admet aucun point critique, puisque ceux-ci ne peuvent provenir que des points de ramification de F ou des points critiques de z sur F. { — x (z) est une fonction automorphe du groupe l qui prend m fois chaque valeur de D dans un domaine fondamental.

Dans chacun de ces procédés la fonction z obtenue n’est définie qu’à une homographie près transformant le cercle 12! < 1 en lui-même. Mais de |

plus les fonctions z = « (f) ou t — x (z) obtenues dans l’une ou l’autre méthode ne sont pas distinctes : T est un sous-groupe de G, et un domaine fondamental de F peut s’obtenir par la réunion de m domaines fondamentaux adjacents de G. Cela explique que x (z) puisse intervenir, comme nous le constaterons, dans l'expression des fonctions f(x) pour lesquelles la borne exacte est attteinte, et w ({) dans l’expression de la borne. z n’étant définie qu’à une homographie près, nous pouvons supposer qu’une branche de z choisie est nulle pour { = a,. Soit z = « (ft; a, E) la fonction multiforme ainsi définie. Pour simplifier l’écriture nous continuerons dans la suite à la désigner par z — « (t), et à écrire t — x (z) sa fonction inverse.

Théorème : Si f (x) — a, La, x + …(a,ttrangeràE; a, +0) converge dans un cercle de rayon KR et n'y prend aucune valeur de l’ensemble E, R< — je | w'(4,)X a, |

En effet, la fonction Q (x) —= «(f(x)) est holomorphe pour [x|< Re si + décrit un chemin fermé intérieur au cercle [x] Rx) décritiune courbe fermée du plan (f), intérieure à D et réductible à un point par déformation continue; donc la détermination de w n’a pas changé. Q (x) admet dans le cercle x'| < R un développement de la forme A, x + … et

vérifie d’autre part [Q (x) | A. DonctAr< R - A, étant égal «w’ (a) X a; le résultat énoncé est établi.

ii] L'égalité n’est possible que si Q (x) est de la forme e KR : R étant le io X rayon maximum, c’est-à-dire si f (4) — x (e à)

La borne exacte est donc atteinte par des fonctions automorphes dans le cercle [x| < R, et qui y admettent comme seules valeurs exceptionnelles les valeurs de E. Ceci prouve que si l’on a deux ensembles fermés E,, E,, dont les complémentaires sont connexes, et tels que FE, € E, au sens strict, les rayons maxima correspondants R, et R, vérifient l’inégalité R, > R.. On vérifierait sans peine que, si l’on n’avait pas supposé w(a,) — 0, on aurait obtenu pour R une borne supérieure qui n’est pas la borne exacte. Le résultat s’étend d’autre part aux séries de la forme a, + a, ©" + … (a, étranger à E, a,-0 ), pour lesquelles on obtient l'inégalité :

1% V | w'(a,)X@, | 28. — Application : Soit une famille de domaines simplement connexes

D, , dépendant du paramètre À, dont la frontière comprend plus d’un point, et qui contiennent le point x,. On peut les représenter conformément sur

un cerele de centre O par des fonctions X — F, (x) de manière que x, ait

d) . 2 pour homologue X — 0, et que () — 1. La fonction qui fait la repré-

sentation est déterminée de manière unique, ainsi que le rayon R, du

cercle.

Sisfi(r), égaletautwvoismase de ta a, À a CO ENT EN nettoie morphe dans D, est n’y prend aucune valeur de l’ensemble E, f (x) devient par la représentation F (X) = a, + a, X + …, qui est holomorphe dans

un cercle de rayon R, et n’y prend aucune valeur de E. On a ainsi une inégalité pour R, , et par suite pour À.

Prenons pour D, un angle de sommet O, d’ouverture 21, contenant

x, —= re? sur sa bissectrice. On passe de x à X par les transformations : Toner ON I D PC EE = X, TT, El ae Lu dx DE T as avec r,=r24. Hadérivé ——=Kk——",—(x,)n ‘er, dx (HE T2) DRE : ar 4ùr ce qui détermine k—eis. —— et R;,———.

La valeur maximum de À pour laquelle il existe une fonction f (x) T 1 Aro (as) a s’interpréter même si le maximum trouvé est > 7 en admettant que le domaine D, puisse se recouvrir. Le maximum est atteint pour des fonctions qui admettent des singularités sur les côtés de l’angle, et par suite (Cr DES Faisons varier x, sur la bissectrice de l’angle; on peut garder, comme nous l’avons vu, la même fonction w, et on obtient : 4 à T Î ST Tofue))xf uen Il en résulte les conséquences immédiates suivantes les fonctions holomorphes dans un angle (œ —— À, « + À) de sommet 9 et n’y prenant aucune valeur de E vérifient en tout point re de l’angle :

ayant les propriétés énoncées est donc Le résultat peut

= OMS se 2 17 . « T pour des fonctions entières on a l’inégalité stricte À < 27 | = G)

1 1 Apee LR NT 'é Pr Are REA tree) Lu T 1e [la—Xx—#|)

partant d’une fonction connue ne prenant aucune valeur de E, on en déduit une inégalité vérifiée par les fonctions «w (f) correspondant à l’ensemble E,. Par exemple, si E (sauf le point à l'infini qui par hypothèse fait partie de E) est contenu dans le cercle [f| < 1, l’utilisation de é

lorsquex = re#.et

[Ir

ft

ET Ce

montre que = À Min.

que ni ..

29. — On remarque que la borne exacte a été obtenue par la théorie de l’uniformisation, donc en faisant intervenir la représentation conforme. Cela est dans la nature de la question : la formation de fonctions holomorphes dans un domaine simplement connexe C, et y prenant comme valeurs celles d’un domaine connexe D, est liée à un problème de representation conforme. Une telle fonction représente en effet C sur un domaine simplement connexe, à un nombre fini ou infini de feuillets, qui se projette en D sur le plan complexe. Donc, étant donné D, la formation d’une fonction répondant à la question se ramène aux deux problèmes suivants construction d’un domaine simplement connexe projeté sur D; représentation de ce domaine sur le domaine C.

Ce sont ces deux problèmes que nous avons résolus en construisant la surface de recouvrement D® et en la représentant sur le cercle unité du plan (2).

30. — Cas des fonctions multiformes : La démonstration du théorème de Landau utilise le fait que, pour les fonctions f (x) considérées, le domaine de variation de x est simplement connexe : c’est de là que résulte l’holomorphie de Q@ (x) — « (f (x) ), chaque contour fermé décrit par x étant réductible à un point par déformation continue. Pour une fonction multiforme, qu’on considérera comme fonction uniforme d’un point de sa surface de Riemann, un chemin fermé tracé sur la surface de Riemann n’est plus toujours réductible à un point. On ne peut démontrer par la méthode précédente qu’un résultat plus restreint.

Théorème : Soit f (Z) une fonction algébroïde à m branches, holomorphe pour [TI < R. Si le domaine des valeurs de f (x), projeté sur le plan complexe (t), n’entoure aucun point de l’ensemble E (:), on a l'inégalité (2)

m R< . Nous supposons qu’il n’y a pas de point de ramification um, , } | > w'(a,).àa; projeté sur x — 0. Chaque branche de f admet au voisinage de x — 0 un développement de:latforme/fi(t)l= "a #at LME 1102) Mme

La surface de Riemann F de f(x) est formée de m feuillets circulaires, communiquant en des points de ramification, et est limitée par une ou

plusieurs courbes projetées sur le cercle [x] — KR. Il résulte des hypothèses faites que Q (x) —= w(f(x)) est holomorphe sur la surface de Riemann et y vérifie JO] <1. | ne Q (x) nr , En intégrant PTE le long de la frontière LT de F, on obtient : == jh del » résidus de . < :

1. C'est-à-dire s’il est impossible de tracer dans ce domaine une courbe fermée qui ne soit pas réductible à un point par déformation continue dans C (E).

2. w (f) désigne une fonction quelconque correspondant à E, pas nécessairement nulle en un point déterminé.

Or, au voisinage de l’origine, chaque branche de Q est développable

suivant Q, (&) =,0 (f. (&) ) = v (a) + w' (a). a, æ + … m | Pour p—0, on trouve l'inégalité » w(a)| <m, qui est évidente nl puisque chaque | o) este:

Pour p — 1, m m Ne i mm “e D o1(2) Fame ER ou R < D Me i=1 " ; i=1 B. — Fonctions méromorphes dans un domaine simple d'ordre de connexion quelconque.

Nous allons démontrer quelques lemmes qui seront utilisés dans la suite.

31. — Lemme I : Tout domaine simple D dont là frontière comprend au moins un point peut être obtenu comme limite d’une suile de domatnes D, vérifiant D, € D, C D,.., chaque D, étant d'ordre de connexion fini et limité par un nombre fini de cercles ou d’arcs de cercles centrés en des points étrangers à D.

Il est loisible de supposer que le point à l'infini n’est pas intérieur à D. Supposons par exemple que ce soit un point frontière, et soit O un point quelconque de D. Soit R, une suite croissante, qui > %® si n >, et e» une suite décroissante qui — 0. Considérons la partie A,de D située à l’intérieur du cercle T,, de centre O, de rayon R;, la partie C, du complémentaire C (D) de D située dans ce cercle ou sur son pourtour. L'ensemble fermé borné C, peut être recouvert par un nombre fini de cercles y,, de rayon e,, centrés en des points de C,. Si on retranche à A, les points appartenant aux cercles fermés y,, on obtient un ou plusieurs domaines connexes, limités par des cercles en nombre fini centrés en des points étrangers à D, et par le cercle de rayon R,, qu’on considère comme centré au point à l'infini. Soit D, celui de ces domaines qui contient O: D, existe dès que CR est assez petit; les points de sa frontière sont, ou bien sur le cercle T, de rayon R,, ou bien à distance n’excédant pas s, de points étrangers à D; il est visible que tout domaine fermé A complètement intérieur à D, donc borné, finit par être complètement intérieur à D,. DonciD =D

En extrayant de la suite D, ainsi obtenue une suite partielle, on peut évidemment satisfaire à la condition que chaque domaine, ainsi que sa frontière, soit intérieur au suivant ().

3. Si D est d'ordre de connexion fini, on peut le représenter conformément sur un domaine limité par des cercles.

Lemme II : Avec les notations du lemme précédent, toute fonction holomorphe dans le domaine fermé D, peut être approchée d'aussi près qu’on veut dans le domaine fermé D,, par une fonction holomorphe dans tout D.

Soit f (x) holomorphe dans le domaine fermé D, limité par les cercles

ou les arcs de cerclel',» y"; Y»,- Y”,. En tout point intérieur à D,, on a : il u) du u) du u) du Fe Or MOT ES 2 ir LRU ÿ'4 U—X J+u — &

Fig.18

. Dans le domaine fermé D,,, dont la frontière est à distance positive de celle de D, chaque intégrale peut être développée en série absolument et uniformément convergent suivant la méthode employée dans la théorie des séries de Laurent (cf. par exemple Valiron [1!., p. 487)

GROS TARACNENERS EAN LL U

RE U — X pe ul est une série entière en æ qu’on approche par le polynôme formé par les premiers termes pris en nombre convenable, Soit a’, le centre de y‘,

| COLE ÉCeE Est 1 1 fa (1 +5 nr + jdu yat U —X yn+ Ua, —(X— a) GES: PR LT LU

et admet un développement en série suivant les puissances de Fe =. On

peut encore l’approcher d’aussi près qu’on veut par un polynôme en 4 -.

On opère de même pour les autres intégrales. Finalement, € étant donné, on voit qu’il est possible de construire une fonction g(x) telle que, dans le domaine fermé D,,, |[f(æ)— g(x)| <e.

centre de y”,, est une fonction holomorphe dans tout D puisque ses seuls pôles, qui sont le point à l'infini et les a”,, sont étrangers à D.

g (x) qui est la somme de polynômes en x et en De rrmndis désignant le

Ce lemme permet d'établir simplement les deux résultats £i-dessous.

32. — Lemme II : ZI existe des fonctions méromorphes dans D, y admettant des pôles donnés avec des parties principales données.

Ce résultat se démontre par la même méthode que le théorème de Mittag-Leffler dont il constitue une extension.

Soient b, les pôles, et P (x, b ) les parties principales correspondantes. ?

Les b, sont évidemment des points isolés de D.

La série » P (x, b,) n'étant pas en général absolument et uniformément

convergente Los un domaine intérieur à D et ne contenant pas de points b,, on emploie le procédé suivant, qu’il suffit d'appliquer à partir d'une valeur quelconque de n.

Soient Dre E b, les pôles contenus dans D, — D,, (on suppose, ce qui est loisible, qu'aucun pôle ne se trouve sur les frontières des D, ). La

somme f, (x) = P (x, b, tn EAÉCADE DL . + P(x, b,) qui est holomorphe dans

D ,,.peut être approchée à PC LOUtTED:

ans D,,par g, (x) holomorphe dans

Dès lors la série Ÿ (£ (x) — 9, (&)) définit une fonction méromorphe dans D admettant les pôles voulus avec les parties principales requises ({).

On traiterait de la même manière le cas où les b, seraient des points essentiels isolés.

__ Lemme IV : Il existe des fonctions holomorphes dans D, y admettant des zéTOST 4114... À donnes).

Ce résultat étend le théorème de Weierstrass. Une fonction f (x) répondant à la question sera obtenue comme produit de facteurs primaires, dont chacun ne s’annule qu’en un zéro déterminé.

Soient 4, ; &, -…. a, les zéros contenus dans D, — D, ..

Si ap, par exemple estrextériour ao 108 œ— a, ) est uniforme dans D, ,; choisissant une de ses déterminations, on jai déterminer

9», (x) holomorphe dans D tel que [log (œ—a,)+9, (x) < dans D,.,

AT. log(x—a, )+ A x Le facteur primaire correspondant sera e EN ») 9 2e. Ver ) Si ap, est par exemple intérieur à y',,, soit «,, un point quelconque, x—a, # \ Q , 1 étranger à D, situé dans y,,, par exemple le centre de y ,,; log rest ; LT P

4. L'indice ” signifie que la substitution à f, de f,-g, peut n'être faite qu’à partir d’un certain rang.

5. Si un zéro est multiple, on le fait figurer dans la suite un nombre de fois égal à son ordre de multiplicité.

uniforme dans D,,, et l’on définit un facteur primaire log = + 9 pi (&) Im () ; pi re tel que

6 — dr

dans D, : log er + C0 (EE) | << ART

be DT (P,)

Soit P,le facteur primaire ainsi associé à chaque ae

CO

Il est visible que le produit Il P, converge absolument et uniformé-

p=1 ment dans tout domaine fermé intérieur à D, et définit une fonction holo-

morphe dans D, admettant comme zéros les ae

Remarquons que les lemmes III et IV sont évidents si D est d’ordre de. connexion fini, comme on le voit en représentant conformément D sur un domaine limité par un nombre fini de cercles. Le lemme IV montre d'autre part l'existence de fonctions holomorphes admettant D comme domaine d’existence, et non prolongeables au delà : il suffit de choisir les a, tels que tout point frontière de D soit point d’accumulation des a,, et par suite point singulier pour f (x).

C. — Fonctions uniformes sur une surface de Riemann algébroïde.

33. — Soit une surface algébroïde F que nous uniformisons à l’aide des fonctions fuchsoïdes. Nous représentons la surface de recouvrement F= sur un réseau de polygones fuchsoïdes par une variable uniformisante z, linéairement polymorphe sur F. Si z est sans point critique sur F, à tout point de F correspondent une infinité de points z équivalents mais tous intérieurs au cercle |z| — 1, et à tout point intérieur au cercle correspond un point de F. Les fonctions méromorphes sur F ne sont autres que les fonctions automorphes du groupe fuchsoïde G formé par les substitutions que subit z.

Si z admet en des points e, de F des singularités paraboliques, les points e, ont pour homologues des sommets paraboliques, situés sur le cercle |z} — 1, et les fonctions méromorphes sur F ne coïncident pas avec les fonctions automorphes les plus générales du groupe G : il faut imposer une condition relative au comportement des fonctions automorphes au voisinage d’un sommet parabolique.

Nous utiliserons donc une variable uniformisante z sans point critique sur F. L'étude des fonctions méromorphes sur F se ramène à l’étude des fonctions automorphes du groupe associé G.

On peut obtenir des fonctions automorphes de G comme quotients de séries @ de Poincaré; mais les zéros d’une série @ étant mal connus, on ne peut mettre en évidence dans les fonctions ainsi construites les pôles,

en nombre en général infini, introduits par les zéros du dénominateur. Pour éviter cette difficulté, nous emploierons dans la suite, au dénomidx

nateur, la fonction particulière PAL

Le domaine D suivant lequel F se projette sur le plan complexe (x) ne peut comprendre tout le plan (x). Nous supposons que le point à l'infini n’en fait pas partie. x, affixe d’un point de F, est une fonction automorphe

dx

de z, holomorphe pour [z| ul: Sa dérivée PS. également holomorphe pour |z| < 1, vérifie l'équation fonctionnelle :

dx(Tz) dx(z) dz

CHAT NT O2 posant 1. Ses zéros correspondent aux points de ramification de F : en effet, soit un point de ramification d’ordre v; — 1, projeté sur x;, et correspondant à Zz. La variable d’uniformisation locale 7, définie par T— XX —= Ti, est liée à z—z, par une relation de la forme :

DT EE, ot ol ll a 20};

dx “e admet donc en z, un zéro d’ordre v, — 1. Il est facile de former une

C’est une fonction @ appartenant à l’ex-

fonction ®@ appartenant à l’exposant 1, sans zéros, et admettant des pôles simples aux points qui proviennent des points de ramification de F ou des points superposés aux points de ramification. Soit f (x) une fonction holomorphe dans D qui admet pour zéros simples les projections des points de ramification :

dx

a) répond évidemment à la question. Remarquons que si F, à m feuillets,

n’admet que des points de ramification d’ordre m— 1, on peut former une

(e m 5 ET LS NC ad) ! : :

fonction ® qui n’a ni zéros ni pôles : c’est ICE qui appartient à l’exposant m.

34. — A l’aide des considérations précédentes il est facile de former

une fonction % holomorphe sur F sauf en un point donné qu’elle admet pour pôle ou point singulier essentiel isolé avec une partie principale donnée. Soit M, le point de F, projeté sur x,;, auquel correspond Z dans le polygone fuchsoïde P. Tous les équivalents de z, sont distincts, puisque le groupe G ne contient pas de substitutions elliptiques. On obtient

CE) dz

gnant une série de Poincaré appartenant à l’exposant m > 2, formée à partir d’une fonction génératrice H (z) admettant en z, un pôle ou un

une fonction répondant à la question par Y — ® (z), @ (z) dési-

point essentiel et holomorphe en dehors de ce point dans le cercle 21 < L Y doit admettre au voisinage de M, un développement de la forme

(e4 D me + ® (7), r désignant la variable d’uniformisation locale et æ (r) une

Le.°] Q 2 CI L pas \ Ln fonction régulière en 7. Dans ce développement la série » — est connue.

Le cas du pôle correspond à des «, tous nuls à partir d’un certain rang. V, considéré comme fonction de z, doit admettre au voisinage de z, un

co co

développement de la forme Ÿ FE), où lagsérie » — est déterminée puisque Ÿ' est connue, Or, dans : 67) = HITS ï | ; n dz

seul le therme H (z) admet une singularité en z,. L'égalité :

# du y Le dTz He : MR 3 HG) — 21H (T7) ( à ) où >” désigne la somme étendue (f (x) De F4

à toutes les substitutions du groupe autres que la transformation identique, montre que H(z) est déterminé, à une fonction près qui est régulière en z, et holomorphe pour [| EE Le

Par addition, on peut obtenir des fonctions holomorphes sur F sauf en un nombre fini de points. Mais on peut aussi étendre le théorème de Mittag-Leffler, relatif à une infinité de points singuliers.

Théorème : /l existe des fonctions holomorphes sur F sauf en des points isolés donnés b, qu’elles admettent pour pôles ou points singuliers essentiels isolés, avec des parties principales données.

On considérera le domaine D, projection de F sur le plan (x), comme limite d’une suite de domaines D, emboîtés et limités par des cercles centrés en des points étrangers à D. Il n’y a dans chaque D, qu’un nombre fini de projections de points b,. Soit y une fonction algébroïde holomorphe sur F, et admettant F comme surface de Riemann, et soit P (x, y,b, ) une fonction holomorphe sur F sauf au point b, qu’elle admet pour pôle ou point essentiel avec la partie principale requise.

b, oo b,, désignant les pôles ou points essentiels projetés sur D, — D, ,, la somme f, (x 9) = Pr y; b, ae re PCT D b, ) est holomorphe dans la portion F,, de F projetée sur le domaine fermé D,,. Elle y admet une expression de la forme(s) ft u) — At) + + A Tales A étant des fonctions de æ qui peuvent être méromorphes. Chaque A n’admet dans le domaine fermé D,, qu'un nombre fini de pôles, et peut