u désigne le nombre de feuillets de F

être approchée d’aussi près qu’on veut dans D, , par la somme des parties principales relatives à ses pôles et d’une fonction holomorphe dans tout D. Comme d’autre part y est borné dans F,,, on voit que f, (x, y) peut

1 ; J être approché à PE près dans F,, par une fonction g, (x, y) qui est

holomorphe sur F.

La série ©’ (f, (æ&, y) — g,{ x, y))fournit comme plus haut une fonction n

répondant à la question.

On obtiendrait évidemment toutes les autres par addition à celle-ci de fonctions quelconques holomorphes sur F.

35. — Certains des résultats ci-dessus s’appliquent à des surfaces de Riemann plus générales que les surfaces algébroïdes. Soit S une surface de Riemann, et D le domaine du plan complexe (x) formé par les points qui sont projection d’au moins un point de S. On pourra dans le cas suivant former une fonction ® sans zéros appartenant à l’exposant 1 :

D ne comprend pas tout le plan (x); on suppose alors que le point à

dx l'infini n’en fait pas partie. est holomorphe pour [z| <<. comme tu)

et s’annule aux points de ramification. Si les projections x; des points de ramification sur le plan (x) ne s’accumulent que sur la frontière de D, il existe une fonction f (x) holomorphe dans D et admettant les x; pour dx zéros simples. dz répond à la question.

f(x) On en déduit l’existence de fonctions holomorphes sur S sauf en un nombre fini de points donnés, qu’elles admettent comme pôles ou points essentiels avec des parties principales données.