CHAPITRE V

INTÉGRALES ABELIENNES — APPLICATIONS

36. — La théorie des intégrales abéliennes sur une surface de Riemann ouverte a été principalement abordée par Nevanlinna et Myrberg. Nevanlinna a étudié le cas où la frontière idéale de la surface a une mesure harmonique nulle, et établi l’existence d’intégrales abéliennes de première espèce dont l'intégrale de Dirichlet a une valeur finie; toutes les intégrales

CO

de cette sorte sont données par l'expression È €, +,, où les €, sont des

Lee]

constantes arbitraires telles que * |c, | <c, et less, forment un système orthogonal complet. (Nevanlinna, [2] et [81). Myrberg, dans une série de publications, a étudié le cas des surfaces symétriques, en utilisant l’uniformisation de la surface par un groupe de seconde classe, et le cas des surfaces algébroïdes entières pour lesquelles la distribution des points de ramification satisfait à certaines hypothèses simplificatrices (Myrberg, [1], [21, [3] et [4].

Nous allons ici démontrer, sur une surface algébroïde quelconque F, l’existence d’intégrales abéliennes de première ou seconde espèce qui admettent des périodes arbitrairement données, résultat déjà obtenu par Myrberg pour certaines surfaces algébroïdes entières. Nous en déduirons l'existence sur F de fonctions méromorphes admettant des zéros et pôles donnés avec des ordres de multiplicité donnés.

37. — Généralités : Soit S une surface de Riemann quelconque étalée sur le plan (x). On appelle intégrale abélienne de première ou deuxième

M espèce sur S l'intégralel= f Ydx d’une fonction Y méromorphe sur S et à M

résidus nuls. L'intégrale est dite de première espèce si elle est partout régulière. Sa valeur en un point M dépend du chemin d'intégration, une fois fixée l’origine M,, et les diverses déterminations diffèrent entre elles de constantes appelées modules de périodicité.

Soit F une surface algébroïde à m feuillets, dont la projection sur le plan (x) est un domaine D. La frontière de D comprend au moins un point : nous supposons qu’elle comprenne le point à l'infini. Et, comme au chapitre IV, nous considérons D comme limite d’une suite de domaines limités chacun par un nombre fini de courbes formées d’un nombre fini de cercles ou d’arcs de cercles centrés en des points étrangers à D, et tels que D, et sa frontière soient intérieurs à D,,,; D, est limité par un contour extérieur T,, à l’extérieur duquel se trouve le point à l’infini étranger à D,

et par des contours intérieurs y,, Y» YA : On suppose qu’à l’intérieur de chacun d’eux se trouve au moins un point étranger à D, sinon on supprimerait ceux pour lesquels la condition n’est pas réalisée.

Soit F, la portion de surface F projetée sur le domaine D, et sa frontière; elle est connexe dès que n est assez grand, et on peut supposer

qu’il en est ainsi dès F,. F — loi Fe

Chaque F, est une surface à bords (munie de ses bords) ou ce que Stoïlow appelle un domaine polyédrique (). Les points de F projetés sur un contour, par exemple y,, de D,, forment une ou plusieurs courbes Y» Y,- en nombre au plus égal à m. F, est ainsi limité par {, courbes. Soit p, son genre (nombre maximum de courbes simples fermées disjointes que l’on peut tracer sur F, sans le morceler). L'ordre de connexion est 2p, + l,.

Remarquons que la suite F, ne forme pas en général une suite de domaines polyédriques d’approximation de F, le nombre de domaines qui composent F,,, — F, n'étant pas en général égal au nombre de contours

de F,.

38. — Modules principaux pour F, : Soit une fonction %,, continue sur F, et holomorphe à l’intérieur, sauf en un nombre fini de points qui sont des pôles à résidus nuls. L'intégrale I, = [ dx présente des modules

(b) Fig.19

de périodicité, dont nous allons établir qu’ils se calculent tous à partir de 2p, + l,— 1 d’entre eux. On peut en effet faire une représentation canonique de F, et utiliser les p, systèmes de coupures (a, b, c) etles 1, — 1 coupures (d) représentées fig. 19. La figure est faite pour Da De

Les coupures utilisées sont les mêmes qu’au chapitre II, avec en plus des coupures (d) joignant les cercles images des contours deF, , et qui n’existaient pas au chapitre IT, puisqu'on avait alors /, = 1.

On suppose que toutes les coupures (c) et (d) ont une extrémité sur un même cercle image d’un contour deF, . Aux coupures (rc) PCT)