Cf. chap. 117 et Stoïilow

correspondent sur F, des coupures représentées fig. 20. F, est ainsi transformée en une surface simplement connexe F’,.

Fig. 20

I, est uniforme sur F',; et ses valeurs en deux bords opposés d’une coupure (a), (b), (c) ou (d) diffèrent d’une constante 4, @, €: ou D.II est visible que tous les modules de périodicité de f, sur F, (variations de I, lorsque M décrit un contour fermé sur F,) s’expriment comme fonctions linéaires à coefficients entiers de 4, R, C, D.

Or, on peut montrer, comme dans la théorie des fonctions algébriques, (Appell et Goursat, [1], pp. 125 et 243), que tous les modules € sont nuls, et que les modules b et À sont les valeurs de l’intégrale JE V, dx calculée

le long de courbes fermées simples orientées qui sont respectivement un bord de la coupure (b) et un bord de la coupure (a). Remarquons que, d’après le tracé indiqué, (b) est une coupure ne morcelant pasF, , et (a) une coupure « associée » joignant deux points en regard sur les deux bords de (b).

D'autre part les modules %Ÿ s’obtiennent en CeIPOREE SSL dx le long

des /, -- 1 contours de F, auxquels n’aboutit qu’une coupure (d).

Nous avons donc mis en évidence sur F,un système de 2p, +1, —1 courbes simples fermées orientées : les modules de périodicité qui leur correspondent permettent de calculer tous les modules de périodicité sur F, (2); de tels modules sont appelés modules principaux ou périodes principales. En particulier si deux intégrales 1, [', ont par rapport à ces courbes les mêmes modules de périodicité, la différence 1, — |’, est uniforme sur F,.

Nous verrons qu'il existe des intégrales 1, pour lesquelles les modules principaux ont des valeurs données. Cela montre qu’on ne pouvait prendre, pour calculer les modules principaux, les l, courbes frontière de FReEn

, Par une combinaison linéaire à coefficients entiers.

effet, d’après le théorème de CSN 4, dx , calculée dans le sens

positif le long du contour total de F, , est nulle. Il est d’autre part évident qu’il y a une infinité de manières de choisir un système de courbes conduisant à des modules principaux.

39. — Modules principaux pour F : Nous allons maintenant montrer qu’on peut de proche en proche définir sur F un système infini de courbes fermées simples orientées, auxquelles correspondra une suite infinie de modules principaux pour F, tous les modules de périodicité d’une intégrale abélienne de première ou deuxième espèce sur F s’exprimant au moyen des modules principaux.

La méthode de démonstration est la suivante : Soient les courbes donnant les modules principaux de F,; nous passons à F, et nous montrons qu'on peut garder parmi les courbes donnant les modules principaux de F, les courbes déjà tracées dans F,. Et ainsi de suite. On a donc à la limite une suite infinie de courbes sur F. Comme toute courbe fermée tracée sur F est intérieure à F, dès que n est assez grand, le module qui lui correspond est une combinaison linéaire à coefficients entiers d’un nombre fini de modules principaux de F.

Soient donc F, et les 2p,+1—1 courbes qui lui correspondent : l;4sont des courbes frontière, p, des courbes fermées simples ne morcelant pas F,, et les p, autres les courbes associées. Passons à F,. F,—F, est formé d’un nombre fini de domaines connexes. Soit G, l’un d’eux, qui se projette par exemple à l’intérieur du contour y, de D..

Il communique avec F, le long de k courbes y{, y? +, y, , projetées sur ya, et admet nécessairement au moins une autre courbe frontière projetée à l’intérieur de y,, puisque y, contient au moins un point étranger à D. Nous numérotons les courbes y', de telle sorte que si l’une d’elles n’a pas été prise dans F, comme courbe conduisant à un module principal, ce soit la courbe ÿ :

Fig. 21

Soit © le genre de G,. Le genre de F, + G, est p, + © + k 1*En effet, nous avons déjà tracé dans F, p, courbes ne le morcelant pas;