PORC

si Y(x) est holomorphe dans D et sur C, le module maximum de 4 dans D + C est atteint sur la frontière, à moins que % ne soit constante;

si Y(x) est holomorphe dans D sauf en un nombre fini de points qui sont des pôles ou des points singuliers essentiels isolés, et si Y est continue dans D + C privé des points singuliers,

Ne ARC RE QC TrESIUS)?

si Y (x) — u + iv est holomorphe dans D + C borné, qi HD u0

(à moins que Y ne soit constante).

Remarquons que la dérivée d’une fonction % (x) holomorphe dans un domaine n’est pas nécessairement holomorphe dans le domaine; mais le (x) Y (x) point de ramification qui est zéro de %Y étant encore égal à l’ordre de multiplicité du zéro.

Si, en effet APCE a CN

théorème sur le nombre des zéros s'étend, le résidu de en un

> LL, UT, sd, EU

VI) n'a rat...) .

MT Y' @) 1 CH CT Slt TR 2. — Fonctions algébroïdes :

On appelle fonction algébroïde dans un domaine D du plan (x) une fonction y (x) définie par une équation de la forme RE (1) DANONEnt

les A; étant des fonctions de x holomorphes ou méromorphes dans D. Nous supposons que D est le plus grand domaine où cette propriété des A, a lieu. y est une fonction analytique multiforme de x dans D, à m branches, n’ayant comme singularités dans D que des points critiques algébriques.

Sa surface Riemann F est formée de m feuillets superposés, identiques à D, communiquant en des points de ramification d’ordre fini < m—1, et réunis par des lignes de passage qu'on peut tracer d’une infinité de manières. Si x décrit un contour fermé C du plan (x) intérieur à D, deux branches de y ne peuvent se permuter que si C entoure la projection d’un point de ramification, ou bien si D n’est pas simplement connexe et si C entoure un point frontière de D (contour C non réductible à un point). Il y a donc deux familles de lignes de passage : les unes correspondent aux points de ramification et on peut supposer que chacune d’elles joint un point de ramification à la frontière de F; les autres correspondent aux contours C non réductibles à des points : on supposera qu’elles joignent deux points frontière de F.

Pour préciser le tracé de ces lignes, dans le cas où D est d’ordre de connexion infini, il est commode de considérer D comme limite d’une suite de domaines D,, d'ordre de connexion fini, limités par un nombre fini de courbes rectifiables et tels que D, € D,,,. On trace d’abord les lignes de passage sur la surface F, correspondant à D,. Passant à D, on prolonge les lignes déjà existantes et on en trace au besoin de nouvelles, mais sans modifier F, : on obtient F,. Et ainsi de suite :

HE

Il est permis de supposer que les lignes de passage sont polygonales et ne se rencontrent pas deux à deux. Remarquons qu’à priori, étant donnée l'équation (1), F peut comprendre plusieurs parties à moins de m feuillets et sans connexion entre elles.

Inversement, soit une surface F connexe, correspondant à un domaine D, à un nombre m et à une distribution de points de ramification quelconques, les projections de points de ramification sur le plan (x) n'ayant de points d’accumulation. que sur la frontière de D, et les lignes de passage de première ou deuxième famille étant d’autre part tracées de manière quelconque; soit y (x) une fonction admettant F comme surface de Riemann. y (x) a m déterminations y;,, y», … yn. C’est une fonction algébroïde, les fonctions symétriques élémentaires des y; étant des fonctions de x méromorphes dans D. L’équation vérifiée par y est de la forme (1), de degré m

3. Nous laissons de côté le cas où D est tout le plan (x), cas des fonctions algébriques.

et irréductibles (*), sinon (1) définirait plusieurs fonctions et la surface de Riemann correspondante ne pourrait être connexe.

Donc, à toute surface de Riemann connexe du type F précédent correspondent une infinité d'équations irréductibles de la forme (1). A une équation irréductible de la forme (1) correspond une surface de Riemann connexe F et une seule si on ne regarde pas comme distinctes deux surfaces ne différant que par le tracé des lignes de passage.

3. — Fonctions analytiques uniformes sur une surface de Riemann algébroïde F :

Toutes les fonctions uniformes et régulières sur F sont données par l'expression

i=m—1 2) NB (0 07 i=0 y étant une fonction quelconque choisie parmi celles qui admettent F pour surface de Riemann, et les B, étant méromorphes dans D. En effet, si on pose pour chaque détermination %, de Y

LA = B, ci B, U» + se — ra, UE

les B;, obtenus comme quotients de deux déterminants, sont des fonctions de x méromorphes dans D. Le déterminant du système ne peut être identiquement nul si (1) est irréductible, ce que nous supposerons, puisque deux branches de y ne peuvent être constamment égales.

La forme (2) est valable pour les fonctions Y non définies sur toute F, mais sur F privée de points isolés (qui sont pour Y des points singuliers essentiels isolés). Les B; sont alors des fonctions dont l’une au moins admet dans D un ou des points singuliers essentiels isolés.

Cette expression simple (2) a été obtenue en utilisant les deux hypothèses suivantes : le nombre de feuillets de F est fini; les m feuillets ont même projection sur le plan (x).

Sur une surface de Riemann algébroïde quelconque F, on peut déterminer une infinité de fonctions holomorphes admettant F comme surface de Riemann, ou seulement comme une partie de leur surface de Riemann (5). Par exemple, étant donnée z holomorphe sur F sauf en un seul point M, projeté en x,, qui est pôle simple, y — (x —x,) z répond à la question.(‘) Toutes les fonctions ainsi déterminées vérifient une équation du type (1) où on peut supposer les À holomorphes dans D et A, — 1. L'une quelconque d’entre elles peut-être utilisée dans l’expression (2).

4. Son premier membre n’est pas décomposable en un produit d’expressions de même forme. 5. C’est suffisant pour la suite.

6. Voir Stoïlow, référence citée. Le point à l'infini est supposé étranger à D.

Les fonctions définies par (2) avec des coefficients holomorphes daus D sont alors holomorphes sur F. Maïs la réciproque n’est pas vraie en général. Elle l’est avec des hypothèses complémentaires pour y.

Théorème :

Si y, holomorphe sur F, ne prend pas la même valeur en deux points superposés de F, et si, au voisinage de tout point de ramification, y est de la forme a, + a; r + … avec a, + 0, toutes les fonctions Y holomorphes sur F sont obtenues par (2?) avec des coefficients B holomorphes dans D.

îi—1 a i+1 m—1 1 U; ut y, ue Un NE y,

1—1 a i+1 m—i 1 U: EE UE . UE . Ye

Pnietelib— NS Lil

A, égal au signe près à EE (y; —y,) , ne s’annule qu’aux points de ramification, par suite de l'hypothèse faite sur y. Soit x, sur lequel se projette un point de ramification M, d'ordre v — 1 (la démonstration serait la même si plusieurs points de ramification se projetaient en «,). Il suffit

de montrer que B;, qui est une fonction méromorphe de x, reste borné quand x tend vers æx,.

Soient par exemple y,, y... y, les v branches de y qui deviennent égales au point de ramification.. Pour ces branches y — a,+ à, 7 + …

Donc pour une même valeur de x, = dE GATE, de = ch AS ep Ter | air (1— 1 U» Oh SE Ch 5 TE 2

v(5— x) d’où résulte que À s’annule en x, comme ADR LEE . Les puissances

de y admettent au voisinage de M, des développements de même forme, dont les coefficients b, c …, f se calculeraient au moyen des a, et % admet un développement’ : &, + æ T + …; d’où

DO RE OR CE Cam Garda Cure t coton ES

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Tr air 2iT i Mana enr EC Lee rt ra Een TE. NT ÉPRAEES

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Retranchant la première ligne aux v—1 suivantes, on fait apparaître dans chacune d’elles le facteur r, donc dans A;:r’". Après division par 7 des termes de lignes 2, 3, v, il reste dans ces lignes des séries dont les pre-

miers termes sont proportionnels. En retranchant aux lignes 3, v les termes de la deuxième multipliés par un facteur convenable, on fait encore apparaître dans A, : r’?. Et ainsi de suite.

A, est donc divisible par 7 à la puissance :

v—li+y—2 +... + 1 —

et le théorème est établi.

Les conditions du théorème sont remplies par les algébroïdes de la

forme y—Vf@), f (x) étant une fonction holomorphe dans D dont toutes les racines sont simples.

Il est facile de former des exemples où, les conditions du théorème étant en défaut, une fonction holomorphe % s’exprime avec des coefficients B non holomorphes. Un exemple banal s’obtient à partir d’une expression où les B sont holomorphes, en substituant (x —x;) y à y, « étant choisi distinct des racines des B (x).