Fonctions algébroïdes entières

Lorsque le domaine D de définition d’une algébroïde y est tout le plan fini, on dit, suivant que y a ou n’a pas de pôles, que c’est une algébroïde méromorphe ou entière. Toute algébroïde entière est définie par une équation de la forme (1) où les A; sont des fonctions entières et A, = 1 :

DEA AC) NUE" AS (x) 0:

On sait que si l’on désigne par A (r) le maximum des quantités

A (ren) re UV SL Pr et 0, UM,

le maximum Mir) de y pour x} < r, maximum qui est atteint sur [æc| 1, Vérité

KA(r) <M(r) <K’A(r), K et K’ étant des constantes dépendant seulement de m (Valiron, [3]); en particulier, Mr) croît plus vite que toute puissance r”. (S’il n’en était pas ainsi, les A, se réduiraient tous à des polynômes et y serait une fonction algébrique).

F désignant dans la suite une surface de Riemann algébroïde entière (7), soit Y une fonction holomorphe dans la portion G de F extérieure à | = R.

Supposons d’abord que G soit connexe et que deux quelconques de ses feuillets communiquent en une infinité de points de ramification. Si Y n’a pas deux branches constamment identiques, %Y est une fonction algébroïde à m branches dans R < (x < + w, définie par une équation de la forme :

d” Ji A UT JE Ex Je A, — 10)

7. Les surfaces de Riemann correspondant aux algébroïdes entières ne sont pas distinctes de celles qui correspondent aux algébroïdes méromorphes.

où les A sont holomorphes pour R < |æ| < + ©; V ayant une infinité de points critiques algébriques, l’un au moins des À a une singularité essentielle à l’infini et el croît plus vite que toute puissance r”. Si Y a des branches identiques, mais au moins deux branches distinctes (5), 4 vérifie encore une équation du type précédent mais de degré < m et la conclusion est la même. Si les m branches sont constamment identiques, Y se réduit arbitre y] croît plus vite que toute puissance r”, croît comme une puissance r° ou reste borné suivant que B, a à l'infini un point essentiel, un pôle ou un point d’holomorphie.

Dans le cas où la portion G de F extérieure à [xl — KR n’est pas connexe, elle est formée d’assemblages de un ou plusieurs feuillets, et on a à considérer plusieurs fonctions Y sans lien entre elles auxquelles on applique les résultats précédents. À une portion connexe à plusieurs feuillets, dont deux quelconques communiquent en une infinité de points de ramification, correspond une fonction algébroïde qui croît plus vite que toute puissance r' ou une fonction uniforme de x. Mais à une portion connexe dont certains feuillets ne communiquent qu’en un nombre fini de points de ramification, ou sont réunis simplement par des lignes de passage, peut correspondre une fonction algébrique de x. A un feuillet isolé correspond une fonction uniforme de x.

Le théorème sur la croissance du module maximum des fonctions algébroïdes entières ne s’étend donc pas toujours aux fonctions holomorphes sur F ou sur G. Dans la suite nous nous placerons dans le cas où la portion G de F extérieure au cercle (x — R est connexe et où deux feuillets

quelconques de F (ou G) communiquent en une infinité de points de ramification.

Dans ce cas

Toute fonction holomorphe sur F a un module maximum Mir) qui croît plus vite que toute puissance r” ou se réduit à un polynôme P (x): Y étant une fonction holomorphe sur Get M(r) son module maximum sur |æ| = r, M(r) croît plus vite que toute puissance r”?, ou bien %Y se réduit à B,(x), holomorphe pour R < [xl < + æ, et méromorphe ou holomorphe à l'infini.

Ce dernier résultat s'étend évidemment au cas où F n’est plus la surface de Riemann d’une algébroïde entière, mais seulement d’une algébroïde holomorphe (ou méromorphe) à l'extérieur d’un cercle.

Remarquons enfin que, F étant une surface algébroïde entière quelconque, même avec un nombre fini de points de ramification, toute fonction Y

fie 8. Par exemple Ÿ = Bo + B2: y? pour y = VAT Bo, B2 et f étant des fonctions entières.

holomorphe et bornée sur F se réduit à une constante : les fonctions symétriques élémentaires des Y, sont en effet constantes. B. — Familles de fonctions uniformes dans un domaine non simple.

5. — On peut étendre aux fonctions définies sur une surface de Riemann quelconque $ les notions de continuité uniforme, d’égale continuité... Il est nécessaire pour cela d'introduire la distance (M, N) de deux points quelconques M et N des.

La distance (M, N) est par définition la borne inférieure des longueurs des lignes rectifiables de S joignant M et N.

Fig.

Sur la figure 1, M, N, P sont des points d’un même feuillet, fendu

suivant a; a,.,, à, et a,,,étant des points de ramification. (MPENDR=EMINEN IN APIE=EN ERP:

(M, N) ainsi définie est bien une distance : (M, N) est > 0; (M, N) n’est nul que si M est confondu avec N; et (M, N) vérifie l’inégalité du triangle (M, Q) < (M, P) + (P, Q).

Le voisinage n d’un point M est par définition l’ensemble des points de S situés à distance de M < ». Ces points forment un domaine qui contient un cercle ordinaire de centre M si M est point simple, un cercle multiple si M est point de ramification., Ce voisinage sera appelé « cercle » de centre M et de rayon ». Conservant les définitions habituelles, on voit aisément que toute fonction continue sur un continu borné, intérieur à S, y est uniformément continue (car la démonstration de ce théorème ne fait intervenir que l'inégalité du triangle et le fait que le continu peut être recouvert par un nombre fini de « cercles »).

De même, D étant un domaine borné, intérieur à l’un des S (°), limité par un nombre fini de courbes rectifiables C : L

— une limite uniforme de fonctions continues dans D + C est continue dns DE AC:

— si une suite Y, de fonctions holomorphes dans D et continues dans D + C converge uniformément sur C, la suite Y, converge uniformément dans D + C vers une limite Ÿ qui est holomorphe dans D.

lim 9. S est toujours définie comme n— co Sn.

La continuité (ou l’holomorphie) en un point M de D se démontre en considérant un voisinage assez petit de M, qui est un cercle ordinaire ou un cercle à plusieurs feuillets.

Remarquons que la convergence uniforme de la suite des dérivées d'ordre p des ŸY, vers la dérivée d’ordre p de %Y n’est vraie qu’après suppression dans D d’un voisinage arbitrairement petit de chacun des points de ramification qu'il contient.