LL

(1) Here

En supposant que N est le nombre des zéros dont le

module est inférieur ou égal à r, nous pouvons poser » = (N+6)e [0 <8<1}, et l'égalité (1) nous donnera

(2) N=-—— log Mr) [1 + e(r)].

TT Puis, recherchons une autre fonction d'ordre 9, à savoir

1 M. Valiron aussi a fait des recherches sur ce sujet. [Thèse citée.| Cependant ses résultats sont donnés sous une autre forme que les nôtres, et ils sont d’ailleurs dans certains cas moins précis et moins généraux.

2 La note citée: Über die angenäherte Darstellung etc.

4 désignant un nombre entier, arbitrairement grand mais fixe.

Fi(2) = II Ë Le

La fonctions F(:) peut être regardée aussi comme une fonction entière de 21 avec les zéros — n£. Par suite, nous trouverons

Soit N' le nombre des Zéros ayant le module inférieur

ou égal à r. En posant r =(N+0 [0<6<1], on en a N'=qN. Alors on tire de (3) q sn ze 4 Ne ee log M,(r) [1 +e(r)].

TT

Jopir : T =

Or, on peut prendre la différence ze — q sin … aussi petit que l’on voudra, en choissisant Q assez grand. Par conséquent

(2) N'=(o—e) log M,(r).

Les relations (2) et (4) nous conduisent à énoncer le théorème suivant,

Etant donnée une fonction entière, F(2), d'ordre o <1, on a pour des valeurs de r indéfiniment croissantes

(91) N<(o+e) log Mr) et (2) N> 7 log M{r)(1— 0),

N désiÿnant le nombre des zéros dont le module est inférieur ou égal à 7.

Que ces relations ne puissent pas être vérifiées pour tout r, c’est évident par une étude de la fonction d’ordre o

les nombres qg, désignant une suite de nombres entiers croissant avec # aussi vite que l’on voudra. Prenons, par exemple,

no

1200 ebr=(n-.2) +e.

Démontrons d’abord l'inégalité (g,). Soit r, le module du nième zéro de la fonction F(z). Posons

Va