ET

nT+sE

(a fonction étant d'ordre o, on a toujours lim 4, = co.

n — 0 Alors, par un raisonnement tout analogue à celui qui a conduit à la fonction o,(x), on peut trouver une infinite d'indices N,, N,,... N,.... tels que lL <lx, pour tout n<N,.

Prenons ensuite

(6) r= Ex, (Np— 6e NET aN

En vertu de (5) et de la valeur de N,, on a done pour

tout n<N, (7) Tn SU, nTE<r.

] D'autre part, r, > Lx, Ne+e> r pour tout n > N,. Par suite, le nombre des zéros ayant le module <r est égal à N, —1. En faisant usage du théorème de M. Jensen, on trouve, avec emploi de (6) et (7)

(en) S

NS Np —1 x N,— | ere BA P ) Vo )

Mr) >

1 1l Ex Net (No — DONC

d’où, en se rappelant que ]n=n"e " V2nn [1+e(n)], on tire N,y—1<(o+es) log Mr).

Ainsi l'inégalité (g,) est démontrée.

Passons maintenant à la démonstration de l'inégalité (4). Maintenons l'égalité (5) et posons encore

La fonction F(2) étant d'ordre o, on a lim inf. 6, = 0.

Par un raisonnement analogue à celui qui a conduit à la fonction om(x), nous pouvons trouver une infinité d'indices M, M,.. M,,.. tels que 1, > lu, pour tout n > M. De plus, un raisonnement tout à fait analogue à celui qui a montré l'existence de la fonction o,(x) nous donnera une suite 1llimitée d'indices N,, N,,.. N,,.. tels que 6, > Ôn, Pour tout n<N,. Pour abréger, désignons la première suite par (M) et la deuxième par (NW).

Maintenant on peut montrer qu'il existe une suite illimilée, (y), d'indices v,, »,,... v,.. qui sont compris soit dans (M) soit dans (NW).

En effet, soit M un nombre de la suite (M) et N Le plus grand nombre de la suite (N) qui est inférieur ou égal à M. Si V = M, notre assertation est immédiatement évidente. D'autre part, si N<M, on trouve, d’après (5) et (8) et en vertu de la valeur de W, pour N<n<M

1 1 Fa = MN TE > Üy- nee d’où 2e

hZ On NÉE = De ni [N<n < M]

Par suite, le signe d'égalité ayant lieu pour # = N, nous obtenons (9) Ex = Ô» . {Va a Ôn + NE! < pe [M ea TES N].

Or, M étant compris dans (M), on a ly<ly pour tout n= M. Donc, d'après (9), zm<% pour #> N, ce qui montre que V est compris dans (M). Notre assertation se trouve démontrée.

Cela étant, soit » un nombre compris dans la suite (»). Nous pouvons poser

Puis, choisissons

1 3 RON (10) =, (v +6) Fe = 6,(» + 0,)e—+ 0 < Ë le.

Il est évident que » est le nombre des Zéros dont le module est inférieur ou égal à r. En effet, on a r,<r<l, OAI EE < 7,1.

D'autre part, nous pouvons écrire toujours

(11) M(r) <IT0+°) IL (+2).

sr

En se rappelant la valeur de », on a , > d,n£—* pour n < y» et rn>1,ne+T* pour n>y. Par conséquent

1 1 Or, il est évident que d,ne-—* < /,ne+* pour n <»; par suite