PRO
1 Cette fonction a été aussi traitée par M. Littlewood dans le mémoire précité (Cambr. Trans. p. 301 et suivantes). (Cependant il s’est servi d’une autre méthode. De plus, il me semble que son résultat est inexact dans certains cas.
Posons
D = NET = CORNE, N désignant un nombre entier et 0 <6<1.
Alors nous pouvons écrire
en)
1+e- vi ;
N N @D) Log |F@I= Dog 5 + D 108 +
+ S Log
Lines se AMP C:
N+1 Cake
On trodve immédiatement N (32) A=NaN+t)—S a(n).
Du 3° on voit que a(x) croît toujours, et nous pouvons poser
N N+ô: Ô © at = fau)az 0 ler TA m6, | d d’où, en intégrant par parties, N
D a(n) = (N + ,) a(N + 8) — 6, a(ô,) — ï œa'(x) dx.
En vertu des propriétés de la fonction a(x) et en vertu de (32), nous en tirons
N+O A =[1+e(N)fy(x) dx.
En intégrant de nouveau par parties et en tenant compte du 4°, on trouvera
(33) A=[1+eN)] (N+ À jh 6)
Pour évaluer les sommes B:+ C, considérons d’abord les sommes
As | N. Le ; ch ‘ c LN . n y(N+06) (34) di l+e “(7) +6); + Se 1+evi (= =" N+1 et les intégrales | | N+0 —.
5 AA TE ) JL, + L, = Jos ites( yes) L
ie ll + e
(N+-6) de + | 1e
En posant dans J,
N +0 ; et dans dE N+6\YN+ 0) il résulte
so br mia LiL=———|1log\1+ue -P'uvN+S du + a SE 2 | g| (2 |
+ Jos 1+uetv
u VAW+6) Êl
ÆEn développant en série, on trouve
1 1] Tai, À SE 7 AREA an ETF roue] v« Ty
De — 1) "cos p
p(N+0- rer 1 El y(N +6)
La dernière somme peut être évaluée à l’aide de la formule !
SR É TES nn — y? — x? DÉC ET SIT si Nous trouvons donc JT COS (35) L+1,=(N+6) Sr” “(N +0) EE ET 6)
Concernant la différence 1, + I, — B, — C;, on trouve sans difficulté
| 5 (36) A+ BG | <elloe pers
ce désignant une constante finie et à la plus petite des quantités: | (N +6) +0) evi pv W+0 ]|[n = 1,2, N° N+1,....
Cela fait, évaluons la différence (37) IB+C—B, —C,;|=4 On peut écrire
AE BEBMN+IC SON de
1 Voir: Lindelôf, Le calcul des résidus p. 55.
Des formules (31) et (34) on déduit
, E (2) — a(N + 6) __ ,llog n — log (N+ 0) y(N + 6) 38 ss à lo | EP — 2 ( 1) B= . 8 ! ie 1 par orne (NEO) UNe)
et (38,)
N+1 l+e le
— log n — 10g (N + O6) y + 6) — [a(n) — a(N +0)
ie — [a(n)— a(N+ 0) |
En supposant |u|<u, <1, il est évident que u, >|u|> nie — U ul ru.
log (+|uh)> log |[1+u]> log re
Cela entraîne
(39) Dogli+ul|s
Montrons maintenant que les expressions e(r)—a(N +06) — eliog n—10g (N+0)] y(N+ 6) [n = | 2 .N] et e— log n—108 (N+0)] y(N+0)
— er) —aN TEE) [y = N+1, N + 2, ...] sont positives. En effet, on a toujours
a(n) — a(N + 6) = a(ei) — a(eiz (N+6)) = (40) =[logn— log (N + 6)] a'(es”) n = = [log » — log (N+8)] y(ñ), ñ étant compris entre N +06 et n. On en voit que notre asser-
tation est exacte.
De là, en tenant compte de (38,,,) et de (39), on déduit
N N gain) — a(N+ 6) __ gliog n — 108 (N-+ 6)1 (N+ 6) (41) 43<Y 1 ea +6) =>
et
[ee]
a e— log n— 108 (N+ 0) (N+ 6) __ p—la(n) —a(N+6)
Q Æ (41) 4c< D TG loen r N+ 01 QT ©) “ NH . -N+1
Si 6=0, le Mie terme dans (41,) n’a pas de sens, mais en choisissant dans ce cas p-F + x, ce terme sera égal à 0 dans (38,); par suite, on pourra l’exclure dans (41,).
Pour trouver une limite supérieure de 43, écrivons
Ni
N N So Ôn + D On = © + Go 1 1 mi où __ 21og y(N+ 6) (42) n = EÛW+ eue |
La fonction a(x) étant croissante, on a pour tout n<n, a(N + 6) — a(n) > a(N +6) — a(n;) = An.
En faisant usage de (40) et de (42), nous obtenons
2 log y(N +6)
NT De 0 M, <n<N+S]
d’où, la fonction va) étant croissante,
An > 2 log y(W+8) .: dr
D'autre part, en vertu de la formule des accroissements finis | ON +6) — pr) = (N+8— 73) w'(N) = LN+6—n Ny(N) y(N) NN) yWN+9 De Ïlà, en tenant compte des propriétés de y(&) et de
l'égalité (42), et en se rappelant que n, <N<N+6, on arrive aux inégalités
2 log y(N +0) we US) yN+0— vin) < Cu(N+ble +9 — 1]
et
(43) | pr) i- 2 log yN +6).
Par conséquent, A >A1— 0) log yN +86), et, pour n <n, ‘
> l+e é 1 "NEO ET? yN +0)
Donc:
H.< < or LCLpON+OË “[v(N+0
Pour évaluer o, écrivons pour n,<n<N
te el°e n — log (N+0)] (y(N+6)— y)
00 [og (N+6)—1logn] 1
Pour n>n,,0on a
7n = Dog (NW + — log n] [CN + 6) — y] < og (ET) +9 — vtu)
d'où, à l’aide de (42) et de (43),
> 4C [log y(N + 6)} bi y(N +6)
Soient €, et € des nombres positifs et @ <e; on a toujours
1—e-à Ce Le A+e) ea — 1 Ce
Par conséquent, pour n,<n<N, ONE — y) y(R) Observant que N+6>#%>n,, on en conclut à l’aide de (43) et de (43)
