RESTES ER

En réunissant ces résultats, nous obtenons

“à AUTCEU)

Dès lors, les formules (35), (36), (37) et (45) nous donnent définitivement

TT cos —?

(46) B+C=(N+6) Des VOS) — yN + os R(N, y) .

| ON 0) où N+8

Ô | +908 | À Ly(N +07

G5) RW pI<cllog

Des formules (31), (33), (46) et (46) on peut déduire une représentation asymptotique de | f(2)|. Cependant, nous allons nous borner à considérer les valeurs extrêmes de | (2) |.

Soit alors M(r) le maximum et m{r) le minimum de |/{(z)| pour |2|=r=e"+6); soit, de plus, 6-=0. Nous distinguerons divers cas suivant la valeur de lim ui

Premier cas. lim <= =

A l’aide des formules (31), (33), (46) et (46’), nous trouvons par des calculs assez faciles

log mr) = [1 + (N)]

N+8 [20 +) 0 +eN) E 7 2 [y(N + 6) (1 +7) sin él log M(r) =[1+&(N) si 1+ … 2 ART Le MOSS y(W + 6) d'où log mr). 2%(1+D[1+e{W) [aV1+i | bg ME) 2 Ée pe a égalité qu'on peut aussi écrire (b°) mr) = M] (TR TT 6) 9! +aun)

Pour décider, dans quels cas la relation (a) peut se préciser, on doit comparer (a) à (b'), en cherchant le rapport Vi+i .,

pag © Cm:

qu'on le regarde comme une fonction de r ou de x, étant posé eme

Soit ce rapport dÀ(r), ou u(x), selon

Des propriétés de a(x) on déduit facilement

log x

| Ur) = (©) (1 + e(x)]

d’où, à un facteur 1+ae(r) près, AT EE (47) d(r) = (x) = ao

Étudions donc la fonction u(x) et supposons d’abord 7 = 0 d'où l’on peut déduire d’ailleurs a(x) = x‘).

Du 3°, on tire sans difficulté w(x) < 1 pour tout x, mais il peut arriver que lim u(x)=1. Dans ce cas, une précision T —C

est impossible. Il est évident que l’on aura

æa'(x) log x

ce qui entraîne a(x) = (log x)! +0),

De là on voit que l'inégalité (a) ne peut pas être précisée en général pour les fonctions dont les modules des zéros croissent moins vite que etoent Te,

D'autre part, pour

(a) a(x) = (log x) [81 > 1,

on à

et, pour

(a) a(u) = etoexnfe Br> 1, 1 1

(à) (x) = Ba (logs x} VE E A(r) )

Pa (log r) TA encore, pour (as) a(x) = terne >B>0]

il résulte

= = = À Îà “4 HD = Een Bar et, pour log?

(a) ag) =etoe rs EAUE

à un facteur 1+#:(x) ou l+e(r) près,

(log, x) 1 logæ log r

Soit ensuite 1>7>0. En posant

(as) a(x) = x?

on trouve M G) AT REA

llog x $ log, r

Les égalités (a,) [p = 1, 2,..5] définissent certaines classes de fonctions a(x). La précision, correspondant à une telle classe, est représentée par une classe de fonctions À(r), définie par une égalité (4,).

En ce qui concerne le cas !’>0, on voit des égalités (4), (4) et (4) qu'il existe une suite de fonctions À(r) telle que le rapport entre deux fonctions successives puisse être pris moins à 1+e. Ce qui resterait à montrer encore dans ce cas, c'est

que est la plus petite fonction À(r) que possible.

log, r D'autre part, pour rendre plus complète l’étude de la précision dans le cas /’=0, nous allons présenter les développements suivants.

Posons log, r =u et À(r) = Imposons à la fonction

p(u) q(u) les conditions suivantes :

1° Elle est définie pour des valeurs réelles est positives de u>u, et elle est toujours supérieure à 1.

2° Elle a une dérivee œ'(u) > 0.

3° La fonction . ne croît jamais, lorsque u croît et lim w = © PES

Je dis qu'à toute fonction q(u) correspond une fonction a(x) jouissant des propriétés indiquées.

Nous pouvons écrire

(48) log a(x) ='u

(49) OR = gli)

Le 1° sera rempli de soi-même.

En dérivant l'égalité (48) par rapport à w, nous obtenons

(50) = 1 d'où, à l’aide de (49), PÉCER ælogæ lu)

en intégrant, on trouve

, fa (D) log, x — log c frs = y(u) (c=log x; a(to) = et).

De là (62) j, 2er ot gt) Il en résulte, en tenant compte des égalités (48) et (50), 63) a'(e)= à en = at — ep),

ce qui met en évidence l'existence de a'(x).

En dérivant ensuite l’égalité (53) par rapport à w et en observant l'égalité (52), on va reconnaître que la dérivée a”(x) existe aussi. Le 2° est donc rempli.

Des égalités (51) et (53) on déduit

(x) = = et — 20 plu) et, par suite, à l’aide de (52) æp(x) 1 et = — (q(u) — 1 + p'(u))e 2.

0) le (p p\

Or, des conditions imposées à œ(u) on déduit sans difficulté que le membre droite de la dernière égalité est positif

| 4 A 1 et tend vers zéro en même temps que -. Les 3° et 4° sont u

ainsi remplis.

Enfin, des égalités (48) et (49) on trouve

æa'(x) log x q(u) a(x) log ax)

ce qui montre que le 5° est rempli. Notre assertation se trouve démontrée.

Remarquons encore que l'égalité (4,) définit la plus grande précision que possible. En effet, l'hypothèse q{u) > u(1 + e) entraînera que le membre droite de l'égalité (54) tend vers l'infini avec u.

Deuxième cas. lim fini.

Des relations (31), (33), (46) et (46) on peut déduire

(55) log m(r) — log M(r) > — F5 c|log (1 —e— ©)

de là : ” (€) m(r) = €, M(r) LUESRA ESS à à

Troisième cas. y(x) = æy(x), y(x) désignant une fonction continuellement et indéfiniment croissante.

De l'inégalité (55), en y remplaçant y par y(W+8), il suit

(a) | mr) = M) [1 — er)

On pourrait préciser ici la fonction s(r), mais cela n’aura point d'intérêt.

Remarques. Dans le deuxième cas, on à a(x) = [y + e(x)] x et dans le troisième a(x) = xy,(x), y,(x) désignant une fonction continuellement et indéfiniment croissante.

Nous allons rechercher maintenant, comment l'inégalité (a) peut se préciser pour les fonctions dont les modules des zéros ne sont assujettis à aucune condition de régularité. Nous énonçons les théorèmes suivantes.

EL Si r, > et), a(x) <ex, pour une infinité de valeurs de n, l'inégalité | (b) m(r) = [W(r)] cos [on(r) À(r) (1+e) x]

est vérifiée pour des valeurs de r indéfiniment croissantes, A(r) désignant la fonction définie par l'égalité (47).

IL Si r,>e, Ü>0, pour une infinité de valeurs de n, l'inégalité (c) est vérifiée pour des valeurs de r indéfiniment croissantes.

IL. Enfin, si rh >e”, o arbitrairement grand, pour une infinité de valeurs de n, l'inégalité (d) est vérifiée pour des valeurs de r indéfiniment croissantes.

Démontrons d’abord le théorème I. En posant r, = elt)rn, nous pourrons toujours choisir a(x) de façon que yn < [a(n)f° pour tout n>no Car, Si y» >[a(n)]° pour une infinité de valeurs de n, nous remplaçons a(x) par une autre fonction a(x), à croissance assez rapide pour que y» < [a(n}f. Il est évident que cela sera toujours possible, s’il fait se montrer que la fonction {a(x)]' +: entre dans l’ensemble des fonctions a(x).

Or, on trouve facilement que la fonction [a(x)]'+* satisfait aux 1°, 2°, 3° et 5°. Elle satisfait aussi au 4°, comme nous le verrons des développements suivants. En effet, en désignant par w.(x) la fonction y(x) correspondant à [a(x)]'+°, nous aurons :

2) vue) | ete) vd) — v@) a):

D'autre part, on a

de ts = | CCE?

d'où, à l’aide du 4° et d’un théorème bien connu dans le Calcul intégral, y(x) a(x)

Donc la fonction [a(x)] T° présente toutes les propriétés qui caractérisent a(x), et la limitation ci-dessus des nombres yr ne restreindra pas la généralité.

De plus, remarquons que, dans le cas 1=0, la fonction A(r) peut être augmentée par un facteur 1+e(r) fout au plus,

si l'on remplace une certaine fonction a(x) par une 60 a(x), à croissance plus rapide.

En effet, en désignant par À,(r) la fonction A correspondant à a(x), nous pouvons montrer qu'une inégalité Ar) >4(r)(1+e) est impossible pour r suffisamment grand.

Du 4° on déduit d'abord

HA a) dx ©

wy(x) = e*% + (Lo); d’où fus - log æ PRE

De là on trouvera que a”(x) < 0, et que, par suite, a'(x) est une fonction décroissante.

Supposons ensuite a,(x,) = a(x) = log r = e*, ce qui entraîne 4, <%, a(x) croissant plus rapide que a(x). D'autre part, en remplaçant q(u) par qe , on voit de l’inégalité (53) que a',(%,) < a'(x) pour æ grand. Alors on aura aussi a;'(x) < a'(x) et a,(x) < a(x) pour x suffisamment grand, ce qui est évidemment contraire à notre hypothèse sur la fonction a,(x). L’exactitude de notre remarque est évidente.

Maintenant on comprend aussi qu’il sera toujours possible de trouver une fonction a(x) telle que la précision, abstraction faite d'un facteur 1+e(r), atlteigne un maximum, en même temps qu'ait lieu la limitation ci-dessus des nombres y».

Cela étant, passons à la démonstration du théorème I. Deux cas peuvent se présenter suivant la valeur de lim

n —0o sup y».

Premier cas. lim sup. y» =7y; y >1 et fini.

R = On aura alors y, = y+e(n) pour une infinité, d'indices #», NM, No, Ns,... Np,.... 66 y» <y pour tous les autres. Deuxième cas. lim sup. y: = oo.

1 = oo

Par un raisonnement tout analogue à celui que nous avons employé pour mettre en évidence l'existence de la fonction on(x), on peut trouver une infinité d'indices W,, W,, D Vp, - . telsrque Yn <yN, Pour tout n<N,.

Maintenant, dans tous les deux cas, la démonstration du théorème se fait établir par un procédé tout analogue à celui dont nous nous sommes servis dans A.

Soit alors un indice VW=W,. Formons la fonction

Fe) = IL(: +5)

étant posé B(x) = yx (1 — e') [s'a(W) + a(x)].

Soit ensuite V' le plus petit indice, vérifiant l'inégalité

a(W'+1) yx > B(W'+ 1).

Dans le premier cas, nous ajoutons encore un facteur 1+6* au membre gauche de cette inégalité.

Des propriétés de la fonction a(x) on déduit facilement N'<N et a(x) > (1 — 2e) a(W) pour x > W.

OCeci-posé, prenons r ="), n<zx <n+l, N'<n<N. Il est évident que la fonction B(x) vérifie au moins les propriétés 1—4 de la fonction a(x). Donc, par des développements tout analogues à ceux qui ont conduit à l'égalité (0°), on trouvera

— aVi+1 M(r) —= [M(n] °° nas AICA ; U + «to égalité qui pourra être écrite (56) m(r) > [W(r)] cos Leyn(r) A(r) ( Her

En effet, on a log V(1 — &”) a(W)yx

Om(r) > et, en posant e“ = 7,

x, a'() log à

De là

V1+ L'a(x,) log AV(1 — &”)

CPR TRE

= 710); d'autre part

Vi+i LE ne CICR ES a'(t;) PTE NERO à

Par suite, nous obtenons

AC) IS e"")a, a'(x;) a(x,) log N par) æ3 a'(X>) a(W) log

Or, il est évident que l'inégalité (56) est vraie, dès que l’on a

(58) ya(r) TE ; et il s’agit donc de prouver cette inégalité.

Soit d'abord x, <x,, cas qui peut se présenter où y= 1: De l'égalité (57), en rappelant que y(x) est une fonction croissante et que a(x) = B(x,), a(x;) > (1 — 2e) a(W), m<xm<N, nous tirons facilement l’inécalité (58).

Soit ensuite 2, >æ,. En vertu du 5° nous avons

æ a'(r) log dr

af log a@) —" * “() et æ a'(%) log & l'+e(x) = 2

a(x,) log a(x) par où l'égalité (57) peut s’écrire

vi() (A — €) [l'+ e(ar)] arr) log a(x,) log W (7) L'+ e(x)] a(W) log a(x) log tr; 1

De là, en tenant compte de la limitation des nombres Yn et des relations a(x,) = B(x), a(x,) > (1 — 2e’) a(N), x, < N et

(&1) > «(&) pour l'=0, nous reconnaissons que l'inégalité (58) est exacte. L’inégalité (56) est donc vraie.

Pour avoir démontré notre théorème, il reste à montrer que les inégalités (1) et (2) sont vérifiées pour une valeur r = e&). Conservons les mêmes notations que dans À. Alors, tenant compte des valeurs des nombres W' et W, nous aurons

Ad: [u = 1, 2].

De plus, on voit sans difficulté que BW) < a(W)yx. Par suite, nous pouvons toujours trouver une valeur x, telle que

Reste donc à faire voir que

Cu > Cu [u=1, 2].

Nous avons toujours

O9 D — #(n) 7e nl (NE) 7 € SN à 2 Cr JI(:- 7) A ts nas ñ

— BCN) U+e(N) sn re Ya ON) As) [1 +e(N)

D'autre part, d’après des développements faits aux pages 8—9, on aura C se 21e a(N) [1+4E(N)] et, par conséquent, GENRE

D'une manière analogue on trouvera ne C> GC;

et le théorème I se trouve démontré.

La démonstration des théorèmes II et III se fait établir d’une manière analogue. En ce qui concerne le théorème II,

on prend a(x) = ôx et l’on pourra toujours mettre y = 1. D'autre part, pour démontrer le théorème III, nous prenons a(x) = x. Alors on aura lim sup. y, = oo. Ici, la limitation des nombres

= 00 = ÿn Sera inutile. Remarquons encore qu'il suffit de prouver l'inégalité (2).

C. Sur quelques relations entre les modules extrêmes des fonctions entières de genre zéro et d'ordre fini à croissance irrégulière.

Dans ce qui précède, nous avons vu le rôle de la croissance irrégulière des zéros des fonctions entières d'ordre zéro. Comment se comportent les fonctions entières d'ordre fini de genre zéro et à croissance irrégulière? Nous allons chercher à répondre à cette question. Toutefois nous nous bornerons à étudier les fonctions présentant le plus d'intérêt, savoir où le module minimum tend vers l'infint. Nous distinguerons plusieurs cas, suivant la valeur de l’ordre.

Premier cas. L'ordre est égal à o, <1.

Soit alors F(z) une fonction entière d'ordre 0, < 1, ayant les zéros — r; !

log n

Supposons lim inf.

en log r»

Quelle relation peut-on donc trouver entre m({r) et M(r)? Comme on le sait, on a toujours, d’après le théorème cité de M. Wiman, pour des valeurs de r indéfiniment croissantes l'inégalité

(59) mr) > [M(r)]s @+or,

! Cela ne restreint pas la généralité.

En vertu des recherches précédentes, on pourrait croire que le nombre 0, +, figurant dans (59), peut être remplacé par un nombre plus petit, si ce n’est p,, au moins un nombre 0

se trouvant entre p, et @,. Pour décider cette présomption, introduisons la fonction

Fo-[] F + 1 Los < 0 < oil

avec les inégalités (1) et (2).

Servons-nous de la même méthode et des mêmes nota-

tions que dans À.

Soit alors V’ un indice tel que rw = (N')a +) et N un indice supérieur à N' et tel que rx = VMet+teM, Cherchons en-

LP s ss 1NZ suite à satisfaire aux inégalités (1) et (2) pour un r = (n+ 5)

W=AN", N'+1,.. N—il].

Faisons voir d’abord que 4,> À, [u=1, 2]. En obser-

: il vant que l’on peut écrire x + 1=x (1 he :) et en tenant compte

st AR L+x " des inégalités: |n > n° e%, = > e% pour x <1, 1—x>e* ue 1— x

5% ; 1 , 5 >e7% pour æ <>, nous trouvons par des calculs faciles

et PE.

1 1 ue ne dE q À; 3 et 1 L 4 =) a+eN) € À £ |

Alors l'inégalité o < p, entraîne

Par un procédé tout à fait analogue à celui développé

aux pages 11—17, on constate aussi que

H;>B, [ue = il 2]

pour l’un au moins des nombres r = (n+5) frise NS NEC

De plus, en faisant des développements analogues à ceux établis aux pages 10—11 et en observant que

co 1 (ES 1) —e

nous trouverons

. Teen) RER N < (EE SCENE ENT EX NS SE , ” 1e —e{N) .N Ce e(N)

C>e 1—-a—eN)

vérifiées, si l’on a 1, 1—a—e4{W) e 02 + EN)

ou, ce qui revient au même, si

(60) Es 1 +0 — 01

Donc, les inégalités (1) et (2) sont remplies pour un nombre e<e, vérifiant l'inégalité (60). Il est évident qu'il existe toujours un tel nombre.

En particulier, le module minimum tend vers l'infini pour des valeurs de r indéfiniment croissantes, si l’on à o,+o <1.

Cela s'ensuit de (60) en posant de

Remarque. Nous avons supposé o <ÿ» Mais en rempla-

çant les inégalités (1) et (2) par les inégalités (10,) et (10,) dans la Note précitée de M. Wiman, on arrivera à la rela- : il

tion (60) encore pour 9 > DE

Nous avons supposé jusqu'ici @& >0. Soit maintenant 02 = 0.

A l’aide des développements analogues à ceux ci-dessus et à ceux faits aux pages 31—35, on va reconnaître que les théorèmes 1, IT et IIT restent en vigueur encore pour les fonchons entières d'ordre op, <1, si l’on remplace dans (b) or) par Om(r)

Deuxième cas. eo, =1.

Dans ce cas l'inégalité (60) ne nous donnera rien. Pour faire ici une étude, il faut régulariser la suite 6, pour laquelle

Hu SUD. 02= L.

nn —=0o° Cependant nous ne nous y engagerons pas de plus près,

mais nous nous contenterons de traiter la question suivante. Peut-on faire tendre vers l'infini le module minimum d’une fonction entière de genre Zéro, en choisissant les zéros à croissance convenablement irrégulière? J'ai été conduit à cette question par certains résultats de M. Fritz Carlson ! qui a trouvé qu’une fonction entière de genre p >0 tend vers zéro uniformément dans certains angles et vers l'infini dans d’autres, si

1 Sur une classe de séries de Taylor. Thèse, Upsal (1914) p. 31—32.

l'on choisit les arguments de zèros d’une façon convenable. Les modules des zéros n’importent rien. On peut se demander s’il n’existe pas une propriété analogue pour les fonctions

: ; EE 1 entières de genre zéro et d'ordre supérieur à ;. Il n'en est pe

pas ainsi, comme il suit du théorème que voici.

Soit une fonction entière de genre zéro F(a). Il est toujours possible de trouver pour des valeurs de r indéfiniment croissantes l'inégalité

en choisissant les zéros à croissance assez irrégulière. Pour l'ordre inférieur à 1, le théorème est déjà évident. Il reste à le démontrer pour l’ordre égal à 1.

La fonction étant de genre zéro, la serie Ÿ — converge Ta

toujours. D’après une proposition bien connue de M. Prings-

: at heim, on a alors lim — = 0.

n—oo Yn n Ta x se) En posant — = a,, on peut trouver dès lors, par des rai. n

sonnements tout analogues à ceux qui ont conduit à la fonction om(x), une fonction a(x) avec les propriétés suivantes: 1° Elle est définie pour des valeurs réelles et positives de æ>æ%, et elle est elle-même réelle et positive. 2° Elle ne décroît jamais, lorsque x croît, et lim a(x) = oo-