or), P

Ces fonctions sont à croissance régulière.

Si l'on considère les puissances de la variable comme les types les plus réguliers de croissance, on pourra dire que la croissance de la fonction Ge) est parfaitement régulière lorsque les nombres # nuls. On énoncera alors le théorème suivant:

o. sont tous

17 DATA AUTE Si l'on «à à partir d'une certaine valeur de à

r; = hi? (h positif fini) on aura (pour toute valeur de >) à partir d'une certaine valeur de r N'ES (h' positif fini).

Relativement aux fonctions à croissance régulière, les inégalités (12) et (13) permettront d'énoncer, d’une manière générale, la proposition suivante:

Si Fon a à partir d'une certaine valeur de à

1 en Dÿ —© 1 Ch ck+E

ie (log à)” (ORERRe i? (log i)° (lon ta

k étant un entier, et es un nombre arbitrairement petit, l'on aura, à partir d'une certaine valeur de r

e” P (og r)7 …(logxr)7E # M(r) < e"° (Log r)A...(Logx r)% À €

20. Je vais maintenant compléter les résultats précédents en démontrant la réciproque du théorème énoncé au $ 19.

Cette réciproque a été, en partie, établie par M. BoreL qui a montré que lorsque (2) est un produit de facteurs primaires, la double inégalité

Cr) e0 0

entraîne, quel que soit <, à partir d’une certaine valeur de à

On complète aisément cette proposition en s'appuyant sur l'inégalité (1 2). Désignant par # la fonction inverse d'une certaine fonction g(x), nous allons montrer que l'égalité

(is) M{r)—e" (h positif fini)

24 P. Boutroux.

supposée satisfaite à partir d'une certaine valeur de r entraine à partir d'une certaine valeur de à

FR Di) (X' positif fini).

Nous savons déjà que cette évalité est satisfaite pour des valeurs de i indéfiniment croissantes, et de plus que l’on à à partir d’une certaine valeur de à

I s’agit de remplacer cette inégalité par une égalité. Supposons d’abord que la fonction d(x) soit de la forme

CA ck

DL) = (6 (oser)?

Si la proposition énoncée était inexacte, 1l faudrait admettre que,

quelque grand que soit le nombre Æ, (comparable par exemple à log, »,) on à, pour des valeurs »#, de ? indéfiniment croissantes

r, = Kb(n,).

Le théorème du $ 14 va nous conduire alors à une contradiction. Faisons-y, en effet

= K in} = gr) D'après la définition de d, on aura lorsque #, sera assez orand l'inégalité

ner ia) Horn,

où 4 est un nombre positif qui deviendra, avec —, inférieur à tout nombre n donné.

Déterminons d'autre part le nombre n, par la condition

d(n,) = Kg(n,) d'où résulte l'inégalité

he Le ) Ar

ur I (a, devenant, comme a, arbitrairement petit avec - :

Es a : D ON Sur quelques propriétés des fonctions entières.

Nous allons nous reporter à l'inégalité fondamentale du $ 14, où nous remplacerons % par #,. Elle devient

log [G (2

Lorsque à < n,, on a r, > hdi).

Donc, si À est un nombre inférieur à p, on a ($ 5)

I ] ñn ÈS LAS < 7 CRE Kim (ce, constante positive finie).

D'autre part

pti D+1 P+H1 KO—-D—1 5 :

) > n<% M2 < (1 a, )JAPYE Le

m+i Ti

pour >», nous nous servons de nouveau de l'inégalité r, > h'@(i), et nous avons

I = Hits Da ri es GP Te (n NUS < Gba Je or Ply no+1"i

Posons alors HOT e,

B étant un nombre positif inférieur à 1. On aura Kin, < KO? (1 Æ a)n, T'ÉUN CE a ne FRET et par suite, si l’on se reporte à l'inégalité qui limite log|G(z)| Mr) <eK—n

c étant un nombre positif fini.

Puisque À est arbitrairement, grand, cette dernière inégalité est en contradiction avec l'inégalité (15). L'hypothèse faite sur r, est donc inadmissible, ce qu'il fallait démontrer.

26 P. Boutroux.

On parviendrait au même résultat en faisant sur la fonction d(x) des hypothèses plus générales. Aïnsi, l'on démontre! sans peine que le théorème précédent subsiste intégralement si l’on suppose simplement que la fonction (x) satisfait aux conditions du $ 9, et que l'on a de plus

I I I Le: | an

u et » étant les deux nombres (compris entre le genre p et l'ordre p) que nous avons définis au $ 9, et ff un nombre positif inférieur à 1.

21. J'ai supposé dans ce qui précède que Æ était un nombre pouvant dépasser tout nombre donné. Mais rien n’empeche, dans le raisonnement précédent, de faire de X une fonction croissante de r.

Soit par exemple

K — (log,r},

e étant un nombre arbitrairement petit. La démonstration précédente établit que s'il existait des valeurs x, de ? indéfiniment croissantes, telles que l’on ait

Tu = (log, r) d(n,)

on aurait, pour des valeurs de > indéfiniment croissantes

M{r) < een tr,

D'où le théorème suivant:

Si, quelque petit que soit le nombre e,, la double incqgalité

one > Mr) = etogr) #1 n

! Si À est un nombre positif plus grand que 1, on a

(A) dx)

L'égalité K,@(n,) — g(n) entraîne donc n, < K,"n, et l'égalité w(n,) — K(n,)

@ suppose n, < K'n..

Tous les calculs faits plus haut subsistent alors, 0 étant remplacé par l'un des

I oi deux nombres — , -.

ne cesse pas d'être vérifiée, à partir d'une certaine valeur de r, à en sera de même, de la double inégalité

h'p(i) < ri < (logsr) di)

à partir d'une certaine valeur de r; {quelque petit que soit €).

Ce théorème, joint à celui du $ 17, nous permet en particulier dénoncer la réciproque de la proposition démontrée à la fin du $ 19 relativement aux fonctions à croissance régulière.

Un cas particulièrement intéressant où le théorème trouve à s'appliquer sous sa première forme est celui où la fonction étudiée est à croissance parfaitement régulière, suivant le sens que j'ai donné à cette expression au $ 19. On a alors le théorème suivant:

La condition nécessaire et suffisante pour que le module maximum M(r)

hr P

soit, quel que soit r, égal à l'exponentielle "7 où h est un nombre fini, est

p Fr , ne .

que le rapport — soit fini, quel que soit n.

Nous constatons ainsi que, au point de vue qui nous occupe, les inégalités (12) et (13) donnent des renseignements suffisamment précis sur la croissance de M(r), lorsque l’ordre » du produit (2) n’est pas entier. Elles conduisent à cette conclusion que l’ordre de grandeur de M{r) est déterminé par le nombre des zéros contenus dans le cercle de rayon r ayant pour centre l’origine. Ainsi se poursuit l’analogie déjà observée entre une fonction entière et un polynôme.

Je complèterai les résultats précédents dans la seconde partie de ce travail en étudiant les dérivées successives de &(z). Mais je dois auparavant m'occuper du cas particulier que j'ai laissé de côté: celui où l’ordre »w de (2) est entier. Je serai ainsi amené à aborder le problème de la détermination du genre d’une fonction entière. Je me proposerai, en particulier, de déterminer dans les cas restés donteux, le genre de la somme de deux fonctions entières.

! La présence dans la fonction entière étudiée d’un facteur exponentiel e#(@) ne modifierait rien aux résultats obtenus, puisque © est supposé non entier.

28 P. Boutroux.

Les fonctions d'ordre entier et la détermination du genre.

22. Supposons que l'ordre » du produit de facteurs primaires (2) soit entier et égal à p. La proposition du $ 17 subsistera sans modifications et l’on aura encore

Mr) > e* (h fini).

Au contraire, si nous cherchons à assigner à A/(r) une limite supérieure, nous rencontrerons des difficultés qui ne se présentaient pas lorsque » n'était pas entier.

Considérons de nouveau l'inégalité (11) obtenue au $ 14. Nous voyons que si p—p, toutes les intégrales du second membre de cette inévalité auront la même limite que dans le cas général, excepté l'intégrale

J'écr

Nous pourrons donc, en tout cas, poser

ñ rP L hn+ — —

(OI Cr

h étant fini et » étant le nombre défini au $ 14.

n $ ue : I Pour obtenir une limite supérieure de la somme Ÿ y NOUS allons 1 (TS dre

être amenés à faire sur la fonction (x) une hypothèse supplémentaire; nous la supposerons choisie de telle sorte qu'il existe un nombre 9, supérieur à p tel que le rapport

æP (log æ) "1

nu soit croissant à partir d’une certaine valeur de x.

Nous aurons alors, en appliquant les résultats du & 5

y? | = < cnlogn (e positif fini).

D'où (19) NÉ) Act Ge NUE (a, h, positifs finis).

Pour comparer les nombres # et #', nous suivons la discussion du $ 12:

Sul existe un nombre a inférieur à tel que le rapport a | æP (log æ)7

admette des valeurs indéfiniment croissantes, on est assuré que les nombres

n et # coïncident pour des valeurs de 7 indéfiniment croissantes.

2°. Nil n'existe pas de tel nombre o, soit e un nombre arbitraire-

: : nm CRT : a ment petit: nous sommes certains que le rapport , sera inférieur à (log n},

pour des valeurs de > indéfiniment croissantes; cela résulte immédiatement à = à . . [0] . FO pare x du fait que le rapport des fonctions inverses est lui-même inférieur à (2 (log x) pour des valeurs de # indéfiniment croissantes {S 12), puisque d(x) reste compris entre deux puissances positives de #. On peut, lorsque l’on y a intérêt, pousser plus loin lapproximation en faisant sur la fonction d(x) une hypothèse plus précise. On pourra alors remplacer l'inégalité (19) par une égalité de la forme

(20) [G(2)| < Coin ei LISE LE

h et h étant des constantes positives finies et # un entier quelconque.

1è A PIS . es x = Le rapport , peut être alors, dans le cas le plus général, inférieur à (log, n°. 23. Si p, au lieu d'être égal à p, était égal à p + 1, on obtiendrait

des résultats analogues. Ce serait alors l'intégrale

Lee] à

da pp+i

qui fournirait une limite exceptionnellement élevée.

30 P. Boutroux.

Supposons la fonction @ choisie de telle sorte qu'il existe un nombre 9, inférieur à p + 1 tel que le rapport œo

——— æv+1 (log æ)°1

soit croissant à partir d'une certaine valeur de x. On aura dans ce cas, l'inégalité (19). Il pourra être avantageux dans certains cas, de faire sur (x) une hypothèse plus précise. On pourra remplacer alors l'inégalité (19) par l'inégalité (20).

On comparera » et n° à l’aide des résultats du $ 12. S'il existe un

. # ® ni I entier # et un nombre & supérieur à SES tel que le rapport p

pee tort)

surpasse tout nombre donné lorsque 7 est assez grand, on pourra faire coïncider # et n° pour des valeurs de x indéfiniment croissantes.

Lorsqu'il n'existe pas de tel entier #, nous ne savons pas quelle précision nous pouvons attendre de la méthode de sommation exposée au S 7. Dans ce cas, nous emploierons pour obtenir une limite supérieure de [G(2)] le théorème ! démontré en 1883 par M. Poincaré:

Quelque petit que soit le nombre à, on à à partir d'une certaine valeur de r +1 FACE CS | œ@ Pr, AN mie Per, loge)"

Dans le cas où nous nous plaçons maintenant, le rapport

est, pour des valeurs de x indéfiniment croissantes, inférieur à un nombre fini (quelque petit que soit €). On a donc, pour des valeurs de #' indéfiniment croissantes

PÉPON RUB ) à LOS

Il en résulte que si l'on adopte pour log|G(2)|, la limite supérieure art}, le rapport de cette limite à n'(logn')...(log,n') sera inférieur à log, n')° pour des valeurs de 7 indéfiniment croissantes.

Bulletin de la Société Mathématique, 1883.

24. On voit combien le résultat est moins précis que celui auquel nous étions parvenus en supposant © non entier. Il nous est impossible maintenant de faire coïncider la limite supérieure et la limite inférieure du module maximum #(r). On pourrait supposer que ces limites sont mauvaises. Il n'en est rien puisque nous connaissons des fonctions dont le module maximum reste très voisin soit de l’une soit de l’autre. Ainsi,

pour reprendre l'exemple que je signalais en commençant, le module maxi-

1 ARE g# mum de la fonction TG) est, pour toute valeur de e, égal à e”"#*, Au Z,

contraire celui de sin est comparable à e!”,

Pour les fonctions sin = et . l'ordre est égal au genre ici à l'unité). On peut très facilement former des fonctions de genre p et d'ordre p +1 qu présentent les mêmes particularités. Par exemple, si p est pair et si les zéros sont deux à deux égaux et de signes contraires G(2) est une fonction de 2° dont l’ordre n'est pas entier: on lui appliquera la proposition du $ 14 et l'on pourra conserver, pour le module [G(2)|[ la limite supérieure (12). Au contraire, si les zéros sont tous réels et positifs, l’in-

tévrale | eme rapproche beaucoup de la limite que nous lui avons Llas n

assiognée. Considérons par exemple la fonction de genre zéro qui à pour zéros les points réels (log i)”, à prenant toutes les valeurs entières positives. Désienons par % le nombre des Zéros dont le module est inférieur à 27. On aura pour 2 réel et négatif

a fr ñn : : C2 : à x (log x)?

. Fe hnlogn [1 I —— J bte TU CAN, ( 2) ob: =

h et h, étant des constantes finies. On sait en effet que si est in-

Le PRE " férieur à -, on peut poser

# j 4 a Gps g étant un nombre positif fini.

a . Rd ur his dr die La On a, si 0<a<>-, lg(t +a)>a CHER

(ne)

P. Boutroux.

Nous reconnaissons ainsi que, lorsque lordre » est entier, les arguments des zéros peuvent avoir une influence appréciable sur la croissance de (2) La considération de ces arguments peut seule nous permettre de choisir entre la limite (12) et la limite (20). Il est vrai que la limite (20) donne déjà sur la croissance de M{r) un renseignement assez précis; mais elle ne permet pas de répondre à une question que l’on semblait en droit de se poser: nous ne savons pas, jusqu'ici, si le mode de croissance d'une fonction entière suffit toujours à caractériser son genre.

I ne faudrait pas croire cependant que l'intervention des arguments des zéros doive nous priver de toute proposition générale à l'endroit des fonctions d'ordre entier. Mais, pour approfondir cette question, 1l nous faut d’abord étudier un problème qui fut posé pour la première fois par M. HapamarD: ce problème à rapport au module minimum du produit de facteurs primaires (r(z) sur une infinité de cercles, de rayon indéfiniment croissants, ayant leur centre à l’origine.