M. HADAMARD a comparé le module minimum de G&{(z) à une

. np+E exponentielle de la forme 6”?

Je me propose de préciser son théorème comme je l'ai fait plus haut pour d’autres propositions du même genre. Considérons de nouveau la fonction (x) qui nous a déjà servi au

S 14 et déterminons le nombre # par l'égalité

7 étant un nombre fini supérieure à 2. On peut déterminer un nombre positif à tel que l’on ait pour i>n

b étant un nombre fini. On en déduit, en raisonnant comme au $ 14,

ñ co ñn .

1 2P 1 dx dx ai p ni 2 di(æ) [A (n}lr+1

9 ! NE à « Yet 7 a m ñ > at. ai ) (1) | free ere

g et m étant des nombres finis (# entier).

Si © nest pas entier, le second membre de cette inégalité sera supérieur à

> an

k étant un nombre fini.

Si p était entier nous choisirions la fonction dx) comme au $ 18 et

le second membre de (21) serait alors en tout cas supérieur à une ex-

pression de la forme

>—hrP —hinlog nr... loge n

k étant un nombre entier, M et }, des constantes positives finies.

26. Il nous faut maintenant chercher une limite inférieure du produit

ñn 7 H:—° ==] 4 |}

Considérons d’abord les facteurs relatifs aux zéros pour lesquels on a

; v É F ie SOI == Wa Bolt <= 0 (& positif).

log &

Leur produit est évidemment supérieur à « Le produit des facteurs

restants est de la forme n 7. | (22) | | lens (UT)

Pour étudier ce dernier produit, considérons sur une demi-droite issue de l’origine un segment égal à yr, et marquons sur ce segment les points

ro Décomposons notre segment en petits segments égaux en

nombre supérieur à 4n', et soient $,,5,,..., 83», ... les segments ainsi