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définis. Je vais marquer d’un signe convenu certains de ces segments en procédant de la manière suivante. Soit s, un segment qui contient q points
FR
;; je marque $,, puis les g segments qui suivent s, vers la droite et les
4 segments qui le précèdent à gauche. Si l’un des segments ainsi marqués,
34 P. Bontroux.
S,, contient à son tour g' points 7;, je marquerai encore les q' segments qui suivent s,,, et les g' segments qui précèdent s;,, et ainsi de suite.
Lorsque l'opération est achevée, le nombre des segments marqués est 3n' au plus. Il existe donc, en vertu des hypothèses faites, au moins # seoments non marqués. En particulier, il existe des segments non marqués dont les points sont à une distance de À et de B proportionnelle à 7. Ainsi lorsque 7’ appartient à l'un de ces segments, on a bien
5 1 pour ? < M —>1+a
et pour i>9n =< I— a (x et à positif fimi).
Soit maintenant 7, le premier zéro situé à gauche du point ?’. On aura
1 à à 2; : ; / 2 NET a = /L An SRE Fri |, > UL An s sheus 4 => ee — >= 4 lc A nr = TT Vis P/L beats 4 fl An ) kA—i+1 fl 4n
27. Il va être facile, maintenant, d'obtenir pour > — 7’ une limite inférieure du produit (22). Soit en effet n = k + y.
On aura, évidemment
i=y —gy—vlog nr + DE log i
PEL 7 (2) => e - | | . }
g étant positif fini, ou
i=y —4y—ylog n'+ [ Gogx) dx
bases — 7° Le. go n' o | ( = =)" 0 1 > e div—y (log à log»).
Or, puisque » < #', on a
par suite
l étant un nombre positif. De même 1% 4 —gk—k108 n'+ fGogx)dx
| | (1) >e ; ner.
Ti
et } restera inférieur à un nombre fixe lorsque » augmentera indéfiniment.
Nous pourrons par suite énoncer le théorème suivant: 53 l'ordre p n’est pas entier, on a sur une infinité de cercles C' de rayons indéfiniment croissants !
(23) L&ta)] > «4,
n etant le nombre défini au K 21, ét h restant inférieur à un nombre fire.
On pourrait déterminer avec plus de précision la situation des cercles (© et se
demander s'ils forment des couronnes de quelque épaisseur. Le raisonnement du $ 26 prouverait que dans un cercle © de rayon 7, les couronnes où l'inégalité (23) est satisfaite forment une portion finie de l'aire totale C. Mais il est facile d’aller beaucoup plus loin si l’on remplace À par une fonction croissante quelconque de n, par exemple par logn. Considérons à part dans le produit (22) tous les facteurs pour lesquels la
différence r — 7»; est, en module, supérieure à —. Le produit de ces facteurs est sun
périeur à e—hmlogn
Les valeurs de r; laissées de côté se trouvent toutes sur un segment ss,, propor-
tionnel à — qui sera infiniment petit par rapport à r, lorsque r augmentera indéfiniment. n
Le nombre y des points 7; situés sur un tel segment sera donc infiniment petit par
rapport à n, sauf peut-être pour un nombre négligeable de segments ss,. Raisonnons alors sur le segment ss, comme au $ 26, en remplaçant 7 par 7. Nous le décomn
poserons en % parties et nous pouvons affirmer que le nombre des intervalles partiels dans lesquels on n’a pas N— i > s PORT Pia oi pe Ne fr PER (A2
est infiniment petit par rapport à ss, (puisque ce nombre est proportionnel à »). On en déduit que dans le cercle © de rayon r, les couronnes où lon n'a pas
[G(z)| = e—hnlogn
forment lorsque r augmente indefiniment une aire infiniment petite par rapport à l'aire totale ©
36 P. Boutroux.
Si p était entier, la limite inférieure de |G(z)| serait, sur des cercles de ravons indéfiniments croissants, celle du second membre de (21).
Ce théorème fait pendant à celui du $ 13. Nous pouvons en tirer le résultat suivant qui correspond au théorème de M. Poncaré:
Si F2) est une fonction entière quelconque de genre p 4 existe une infinité de cercles de rayons indéfiniment croissants sur lesquels on à F/ —=5rp+#l LASER quelque petit que soit le nombre €.
28. Le théorème précédent va nous permettre de compléter les résultats que nous avons obtenus sur la croissance des fonctions d'ordre entier.
: Le : , La série Ÿ ; étant divergente, le nombre #' des zéros de module M OT ù
inférieur à » sera en général, pour une infinité de valeurs de >, supérieur
à c?, c étant une constante finie. Le module maximum Æ/(r) sera alors,
pour ces valeurs de > supérieur à ét (4 positif et fini).
Cette propriété peut servir à caractériser les fonctions de genre égal ou supérieur à p. Nous savons, en effet, qu'elle ne peut pas appartenir à une fonction de genre p — 1.
Mais il est possible, lorsque 0 — p, que les nombres #’ et » restent,
partir d'une certaine valeur de >, inférieurs à er?, quelque petit que soit
Il en sera ainsi, par exemple, pour la fonction de genre 1 qui admet pour zéros les points log 1 ,21l0g2, 3log 3 ,... (on fera dans ce eas d(x) = x log x).
Considérons une telle fonction. Elle sera, dans le cas le plus général, de la forme EN NERPRCtTe)
((z) étant un produit de facteurs primaires et H(z) un polynôme de degré p— 1; nous poserons
: >p -pS fe) 421 er
7; 3 | 1 4 l pui Ÿ Fu Fe e Ce),
n étant toujours le nombre défini au K 14.
on À aux 0 Ul AE A .
Soit D —— PB. Kn général le nombre A + B sera supérieur en 1 PA
module à un nombre positif fini 4, pour des valeurs de # indéfiniment croissantes. Soit » la valeur de
2| correspondant à l’une de ces valeurs de #. A l'intérieur de la couronne limitée par les cercles de rayons 7 et
#f (y nombre positif fini) ayant leur centre à l’origine, on aura dans certains angles
0 cr Appliquons, d'autre part, à la fonction G&(2)e“® le théorème du $ 27; nous pouvons affirmer, en conservant les notations de ce paragraphe, que l'on à sur une infinité de cercles compris dans la couronne
| (z)e | eTlan (h
positif fini).
Donc, puisque nous supposons ici que À NÉS LErTE, on aura en certains points de ces cercles POÈTE
Cette inégalité est satisfaite pour des valeurs de r indéfiniments croissants. Cest bien là encore une propriété caractéristique des fonctions de genre p.
29. Mais le raisonnement précédent serait en défaut si la somme AE ot dE et Le :
13e —, était infiniment petite. Or cette circonstance peut se présenter. LL 4 1 Pa En disant que F(2) est de genre p, nous avons supposé, sans doute, que Ve Ÿ° I ; vi: ; la série )- n'est pas absolument convergente: mais il peut arriver que X; cette série soit semi-convergente (les 4; étant rangés par ordre de modules croissants) et ait pour somme -— A. Il se peut alors que l’on ait à partir
d'une certaine valeur de
quelque petit que soit €.
38 P. Boutroux.
D'ailleurs, en vertu de l'inégalité (12), on aura toujours, à partir d'une certaine valeur de 7
[G;(e)e A eee (h positif fini).
Si donc, comme nous continuons à le supposer, #(2) est tel que l'on puisse choisir la fonction d de façon que
LA EN (à partir d'une certaine valeur de 7, quelque petit que soit e) l'inégalité PL 2 = : ; :
A+ N <e entraînera, (en vertu de (24)) à partir d'une certaine valeur de 7 1 er?
(25) FC) < 7,
où € est arbitrairement petit.
Dans ce cas exceptionnel le module maximum de F2) perd tous les caractères qui distinguaient cette fonction de genre p des fonctions de genre inférieur.
La fonction Æ(z) peut croître moins vite que certaines fonctions de genre p—1. Supposons par exemple qu'elle soit un produit de facteurs primaires admettant pour zéros les points réels
a; = (ri) = +ilogi.log,t
(à prenant toutes les valeurs entières positives) F(z2) satisfera, dans ces conditions, à l'inégalité (12) du $ 13. et l’on aura à partir d’une certaine valeur de r
PAC RACE AE EE (k fini).
Or nous avons vu au $ 24 que la fonction de genre zéro qui admet pour zéros les points (log)? (à prenant toutes les valeurs entières positives) a son module maximum comparable à
hnlogn )
(4 n désignant le nombre des zéros de module inférieur à 27, c'est-à-dire à
er (ogr)-!
Cette fonction de genre zéro croit donc plus vite que la fonction de genre ur F2). Le cas exceptionnel qui vient d'être signalé présente par suite, au point de vue de la recherche du genre, des difficultés spéciales, et son étude va nous conduire à des résultats inattendus.
30. M. HapbamaRp a, le premier, déterminé le genre d’une somme de deux fonctions entières, lorsque ces fonctions ne sont pas d'ordre entier. Il a démontré que, dans ce cas, la somme de deux fonctions de genre p est, au plus, de genre p. Cette proposition n’a pas pu, jusqu'ici, être étendue aux fonctions d'ordre entier. Cependant l'avis commun des auteurs qui ont écrit sur ce sujet, était que, suivant toute vraisemblance, elle devait subsister pour ces fonctions. Je vais montrer qu'il en est bien ainsi en général, mais que la proposition peut cependant être en défaut dans certains cas exceptionnels.
Soit f(:) une fonction de genre p à laquelle nous ajoutons une fonction f,(2) de genre inférieur à p. Si f,(2) ne présente pas les anomalies signalées au $ 29, on a sur une infinité de cercles
pOl>e", JAt<e,
h étant fini et e arbitrairement petit, par suite
lf(e) + A()1> €,
ee qui prouve que la somme /(2) + f,(z) est de genre p.
f.(e) ne peut donc pas être la somme de deux fonctions de genre in- Jérieur à p. Ce résultat équivaut à celui qu'a obtenu M. HapamarDn dans le cas des fonctions d’ordre non entier.
Mais les choses ne se passeront plus ainsi si /.(2) satisfait à l’inégalité (25). On aura, dans ce cas, à partir d'une certaine valeur de 7
ag +) <e,
