LO
étant arbitrairement petit, ce qui ne permet pas d'affirmer que la somme f, +f, est de genre p. Supposons que cette somme soit la fonction F2) du $ 28, et appelons «4, ses zéros. L’inégalité (26) prouve que la série
I . e a » -— est semi-convergente et a pour somme — À. Mais elle ne prouve ? [æ di
40 P. Boutroux.
pas que la série des modules NE Br soit divergente. Or de ce que cette à condition est satisfaite pour /(2) il ne résulte pas qu’elle le soit pour F(2). En d’autres termes, si l'on ajoute, par exemple, à la fonction Æ(2) définie au $ 19 une fonction du genre zéro croissant plus vite que F{(z). rien ne parait sopposer à ce que la somme soit elle-même de genre zéro. Il existe ainsi un cas exceptionnel où la somme de deux fonctions de genre p parait se comporter comme une fonction de genre p+1. Je vais montrer par un exemple que cette circonstance se présente en effet.
31. Soit (2) un produit de facteurs primaires de genre zéro, ayant tous ses zéros a; réels et positifs. On sait que |f.(2)| prend la même valeur lorsque lon donne à la variable 2 deux valeurs imaginaires conjuguées. Cherchons comment se comporte (2) lorsque z est au-dessus de l'axe des quantités réelles, en supposant que 4; satisfasse, à partir d’une certaine
valeur de à la double inévalité
d, (log) ra, <uflositr,
a étant un nombre positif plus petit que un et 7 arbitrairement petit. Nous supposerons par exemple que l'on ait
Appelons — € la partie réelle de z et supposons-la d'abord négative. Déterminons ensuite le nombre # par l'égalité 3 (27) AIO) ETT
7 étant un nombre plus grand que 2. Nous avons, lorsque £ > o
ñn C2 HS LS 2 Z % [| 1—<) LME FLE = dre li 4; 1 nu +] (4 étant un nombre positif), car on à |2 Or
De dx n log n nn æ (log a+ an | (log n)+4°
pre UNE 3 k Posons 2 = re" "7, On a £= —7ycos/. Il en résulte que Ed Un AN a . ns ODA log n | cos 4| (4, fini) m' ; et l'on a (28) béta) net er een (4 positif fim).
Soit alors BP un nombre arbitrairement petit supérieur à y. Tant que l'on à
ne — — COS —— (log r)'—# on a, en vertu de (27), \ © , œ Dale 3 (29) At)! = pr (ogn)Ë SS erGogr) ur: É Supposons maintenant que la partie réelle — € de z soit positive.
Posant encore z — 7e”, montrons que tant que cos 0 satisfera à l'inégalité
COS 0 > Fi (log r)'—#
l'on aura (30 POP ETES el
k' et h; étant des nombres positifs finis.
Pour établir cette inégalité, 1l suffit de remarquer que l’ordre de la © - 2 2 a » 4 U : ns € SR D fonction de 2° f(z)f(—2) n'étant pas entier, on peut appliquer à cette fonction le théorème du $ 14. On a donc
/ F or) 1 -0+Y ss .
(31) PATES) Eee (4, positif fini).
Or puisque 7 < B, cette inégalité ne peut être compatible avec l'inégalité (29) que si l’on à au point — 2 l'inégalité (30). 32. Désignons maintenant par f,(2) un produit de facteurs primaires ayant tous ses zéros D, réels et négatifs, et supposons que l’on ait à (log 2) FT << — b, < iflogi) +*
a étant un nombre positif quelconque et 7° un nombre arbitrairement petit
49 P. Boutroux.
inférieur à f. En raisonnant comme au paragraphe précédent, on constate que dans la région du plan où l’on a l'inégalité (29), on aura
(32) RAGE e—grQogr) 14 +8 (g positif fini).
De même on aura, en même temps que l'inégalité (28), l'inégalité
(33) OCR ARE
on aura, par suite, dans les régions du plan, où l'inégalité (30) est vérifiée:
(34) HÉNEEME NE (g positif fini).
Considérons alors la somme
Fe) = f(e) + (2).
Elle ne peut s’annuler pour |[2[—7 qu’à l’intérieur d’un angle dont la bissectrice est l'axe des quantités imaginaires et dont la moitié a un sinus (log nr) 4"
valeurs imaginaires conjuguées. Désignons ces zéros par 6, ,6,,.... Je
inférieur à D'ailleurs les zéros de (2) ont deux à deux des
vais montrer que #{(2) est une fonction du genre un.
Séparant dans c; la partie réelle de la partie imaginaire, posons
Gi + ÿ— 1 Si nous supposons que #(z) est de genre zéro, nous aurons
1 27 CA F()=TT|: st h
ri + di
Appelant plus particulièrement à le plus petit des deux nombres a et a’, nous obtiendrons le module maximum M(r) de F(2) en faisant 2—=—7. fi(z) satisfait alors à l'inégalité (28), où cos0 — 1, et f(z) vérifie l'inégalité (32). On a, par suite
“(log r) —4 CD NE Fes) PET (4 positif fini).
D'ailleurs le théorème général du $ 22, appliqué à f.(4) nous donne
F(— r) < enr@ogr) a+ (h' positif fini)
d'où il résulte ($ 17) que l’on a à partir d’une certaine valeur de à
r, > hiè(log i)* 7 (A; positif fini).
Cela posé, supposons que #(2) soit de genre zéro, on aura certainement pour des valeurs x, de à indéfiniment croissantes
Hot marvecadhi)=trHlort)2n et K — (lon)
, étant égal ou inférieur à 1—a<+7y, ce qui permet de prendre, par
exemple ; > 57 (puisque nous avons supposé que <I—4). 1 ù Il Reprenons les notations du $ 20, et faisons
Nous obtiendrons en nous reportant aux calculs du $ 20 (où nous LOTO AE 0 = Be
>, h positif ini) 2 4 D'autre part, puisque
r; [rl É (log r)'—8 / nous aurons
Le] [Ce]
2hr(ogr)1+P > — +hr?
R PL mit 1—<)|<e =
CS
(4, positif fini).
2 I Pour évaluer la somme Ho 2
2) nous procéderons comme nous avons ni+l"?
fait au $ 20 pour la somme FO —5, (en faisant p + 1 =2, p = 1). m+l ri Nous obtenons
ne Da > er C0)
ny +174
: Ze I 2 D'autre part, puisque la série Y > est supposée convergente, nous t
avons
(log) D < kr(logr)7'** (E positif fini).
ni+1 /
Nous aboutissons donc finalement à cette conclusion que Mr) est inférieur à la plus grande des deux expressions
, op) AT +7 *,* Q 0 op —1+$ CON ETS (OC DOSA SRI), CREER CEE
I À D'ailleurs, puisque l’on à €c>- et 7, > 57, on a nécessairement
, I 7 —7,c <o et, d'autre part on aura, lorsque - et par suite B seront assez
petits Ce Sn À
Les inégalités précédentes se trouvent donc en contradiction avec les résultats obtenus plus haut sur le module maximum de #(2).
On en conclut que l'hypothèse d’après laquelle F{(z) serait de genre zéro n'est pas admissible.
Nous aurions pu parvenir au même résultat en procédant un peu différemment. Le produit F(z) F(—z), considéré comme fonction de 2° est une fonction de genre zéro et d'ordre non entier. Or il résulte des inégalités obtenues aux $$ 31 et 32 que cette fonction a même module maximum (pour |z[—7) que le produit F{z). On peut done lui appliquer le théorème du $ 21, qui conduit au résultat cherché. La méthode suivie plus haut semble cependant préférable, parce qu'elle manifeste mieux l’influence exercée par les arguments des zéros de Æ(z) sur la croissance de son module.
Nous pouvons énoncer maintenant la proposition suivante:
Soit f(z) une fonction de genre zéro ayant tous ses zéros réels et positifs et tels que l'on ait à partir d'une certaine valeur de à
(Det net (lon Lee
a étant un nombre positif plus petit que un et y arbitrairement petit. Soit
d'autre part f(z) une fonction dont tous les zéros sont réels et négatifs et tels que l’on ait à partir d'une certaine valeur de à
LIOD 2) RER < pe lon re
a étant un nombre positif quelconque (j" arbitrairement petit). La somme
fe) + f,(2) est une fonction de genre un.
Un cas particulier intéressant est celui où f,(2) — f(— 2). On voit que si /,(2) satisfait aux conditions indiquées plus haut, la somme f (2) + f(— 2) sera une fonction de genre un. M. E. Linpgrôr vient de faire connaître un résultat équivalent qu'il a obtenu de son côté et qui rentre dans ce cas particulier. Posant
fee II |: EE A NN OT
M. Lanperdr établit directement que la somme f(2) + f(— 2) est de genre un.
Faisons une dernière remarque au sujet de la proposition qui vient d'être établie. Si elle s'applique à deux fonctions f(2), f(2), elle s’appliquera également à la somme
fa) + che)
c étant une constante quelconque.
