DEUXIÈME PARTIE

Pour rendre applicables à l'étude des équations différentielles les résultats obtenus sur la croissance d’une fonction entière, 1l nous faut considérer maintenant la dérivée de la fonction et déterminer, en particulier, l'ordre de grandeur de cette dérivée par rapport à la fonction elle-même.

! Comptes rendus de l’Académie des Sciences. 30 décembre 1901.

46 P. Boutroux.

La dérivée logarithinique d’une fonction entière.

1. les nouveaux résultats que j'ai en vue ne peuvent évidemment pas être des conséquences des inégalités obtenues plus haut: car on sait qu'en général on n'a pas le droit de dériver une égalité asymptotique. C’est en faisant de nouveau intervenir ici le fait que la fonction considérée, F(z), est entière que je pourrai obtenir sur F”(z) des renseignements beaucoup plus précis qu'on ne l’avait fait encore.”

L'étude de la dérivée logarithmique d'une fonction entière a déjà été tentée par LAGUERRE et avec plus de détails par M. VivanrI.” Mais aucune proposition complète n'a encore été démontrée à son sujet et, d’ailleurs, quelques-uns des résultats énoncés par M. VivanrI demandent à être précisés. C’est pourquoi certaines propositions tirées par lui de ses théorèmes ne se trouvent pas être entièrement exactes, entre autres celle-ci que {a somme de deux fonations entières de genre p est toujours de genre p au plus. Nous avons vu plus haut que cette proposition comporte un cas d’exception.

* Dans son mémoire sur les zéros des fonctions entières, M. BoREL a donné une

limite supérieure du module de Æ''(2). Posant F(:)=a,+a,s + as +...

M(r)=|a,ls la,lr + M'(r) = |a,l + 2{a,lr +.

M. BorEr à montré que l’on a, quel que soit €, à partir d'une certaine valeur de r Mr) LEMr)fre.

? Giornale di Baltaglini, 1884 et 1885, F(z) étant une fonction de genre p,

M. Vivanrr dit que dans certains angles le rapport LEE r'|F(z) | HO] =] F()]

proposition fût vraie il serait nécessaire de faire des hypothèses très particulières sur

tend vers zéro, tandis que

le rapport augmente indéfiniment. Mais pour que la première partie de cette

les arguments des zéros. Quant à la seconde partie, elle n'est en tout cas pas exacte, comme nous le constaterons un peu plus loin.

N- A. 2. Soit (2) un produit de facteurs primaires de genre p

À ML ee 2 2 g(e) = Fe = > ÊES si - ct SN,

Er GE)

Étudier la variation du module [y(z)|, comme nous l'avons fait pour [G(2)1, lorsque le module || augmente indéfiniment, semble une question dépourvue de sens, puisque la fonction g(z) a à distance finie une infinité de pôles. Mais si l’on exclut du champ observé le voisinage des pôles, ce qui revient à considérer g(2) dans certaines régions ou en certains points, on constatera que le module de croissance de g(z) est bien, cependant, une propriété caractéristique de la fonction: il résulte, comme celui de G&(z2), de la distribution des points «,.

3. Proposons-nous, d’abord, de trouver, en certains points, une limite supérieure du module MOI

Je traiterai pour commencer, un cas particulier, celui qui donnera lieu aux résultats les plus complets. Je supposerai qu'il existe un angle 7 ayant pour sommet l'origine et ne contenant aucun des points a;.

Posons |2[—7, |a;|—7;, et désignons par 2 un point situé dans

l'angle = de même bissectrice que y. Je vais déterminer en ce point une

pp

ai (2 Cu di)

limite supérieure de

Les formules élémentaires relatives au triangle oz4; donnent immédiatement ù nr:

|z— a] > r sinl et |2—a|>7r;sin:.

2 2 De là nous allons déduire la limite cherchée.

Considérons d’abord le cas général où l’ordre » de la fonction entière G(z) n'est pas un nombre entier, et formons de nouveau la fonction d(z)

48 P. Boutroux.

qui a été définie dans la première partie, au $ 9. Elle est telle que l'on . , . Z . a 4 Or ait, pour > m, r,2> di). Définissons, alors, le nombre x par l'égalité

7 étant un nombre positif fini.

On a n n ñn su : pe a 1 ré r?—1 dæ 7? > - “ie D <'CYPT + Fe) Tai (a — à) SE ré sin À (0) 2) m

c étant un nombre fini. L'intégrale définie qui figure dans le dernier © ; . Pts SG .

membre, est d'ailleurs, comme on l'a vu plus haut,” imférieure à +; (c, fini).

On obtient donc, dans ce cas:

h restant inférieur à un nombre fixe. D'autre part

LE r? dæ n ; ; F Î Do Ne

L (a — à; T n+1 a à (z di)| sin +

puisque 9 est supposé différent de p + 1.

Nous avons donc, finalement

(1) [ya <n2 (à positif fini).

4. Cette inégalité peut être mise sous une autre forme. Désignons par @(r) la fonction inverse de d(x). Cette fonction satisfait aux conditions énoncées au $ 8 de la première partie: on a donc

DPF) =# gCr) (4 nombre positif fini).

? Première partie, $ 15.

Sur quelques propriétés des fonctions entières. 49 Nous avons établi, plus haut, l'inégalité log [G(2)| < he(r).

Nous constatons, maintenant, qu'au point z, on a le droit de dériver cette inégalité; c'est-à-dire que l’on a

h, étant, de même que k inférieur à un nombre fixe.

On voit immédiatement que la proposition subsiste dans le cas où la fonction entière étudiée contient un facteur exponentiel e/®, dont l’exposant est un polynôme de degré p au plus. Mais elle pourrait cesser d'être exacte, si l'ordre » du produit de facteurs primaires .((2) était égal à p ou à p+1. On choisirait alors la fonction d(x) comme il a été fait au $ 22 ou au $ 23 de la première partie et l’on remplacerait l'inégalité

(1) par une inégalité de la forme

nlog n...logn

(2) Lg(a)| < hr? +, > .

k étant dans cette inégalité un entier fini, et les nombres #, k, restant inférieurs à un nombre fixe lorsque > augmente indéfiniment. D'ailleurs de l'inégalité

n Cal Lg(z)| < hr? 5 = HAN AE GE Va il résulte immédiatement que l’on a nécessairement (2) ACTE

z tendant vers zéro avec

! On constaterait aisément que dans certains cas exceptionnels, bien que G(z\ soit de genre p, on pourra avoir dans l'angle ÿ à partir d’une certaine valeur de r

une inégalité telle que rP—1