MOIS

= (h,h" nombre positifs finis).

Nous pouvons donc énoncer la proposition suivante :

Si l'ordre p nest pas entier, il existe, quel que soit r, une infinité d'arguments 0 tels que l’on ait

HE hn log n A DONIE : :

[ge] < ©", fe h étant une constante finie et n le nombre défini au $ 14 (Première Partie). Si l’ordre » du produit ((2) était entier, on choisirait la fonction d comme 1il a été fait aux $$ 22 ou 23 de la première partie, et on pourrait être amené à remplacer l'inégalité précédente par une inégalité de la forme = 1, Anlogn...logen [g(re WT) < hr + RE, ; où k est un entier, ! et }, des nombres positifs finis. Dans tous les cas, on aura en vertu de (2)

hn' log n'

potes] < OUEN + er,

e tendant vers zéro avec ;

7. Jnsistons un peu sur l'inégalité obtenue dans le cas où l'ordre p nest pas entier. Il est clair que les ares sur lesquels cette inégalité est vérifiée sont d'autant plus grands que la constante À est elle-même plus grande. Si l’on remplaçait À par une fonction croissante de #, par exemple loglognx, on pourrait affirmer que les arcs du cercle C' de rayon r sur lesquels l'inégalité n log n log, n AA nest pas vérifiée ont une somme infiniment petite par rapport à la longueur totale du cercle C.

Sur quelques propriétés des fonctions entières. D3

Supposons en effet que l'angle 7 considéré plus haut, au lieu d'être

fini, ait pour sinus ç > Ct considérons d'abord tous les pôles situés en 09, 1t

dehors de cet angle et tous ceux pour lesquels on a

? I Pa I LI+—— où <>1I+.

1, log, n q log, 1

La somme 2? relative à tous ces pôles est évidemment inférieur à la limite

(4) puisque la seule modification apportée aux calculs des $&$ 3 et 5 consiste

k Ke I

à remplacer les constantes finies -—, Æ et X, par des nombres proportionsin y

nels à log,n. Faisons maintenant, au $ 6, N=n. Il est clair que,

quelle que soit la situation de l’are 7° sur le cercle (’, le nombre » deviendra, lorsque » augmente, infiniment petit par rapport à N, excepté peut-être pour un nombre limité d’arcs 2’ (c'est-à-dire d’angles 7) dont la somme est infiniment petite par rapport à la longueur totale du cercle C. ; : y \ : < :

D'autre part, si N est très petit le rapport à 7° de la somme des arcs partiels # sur lesquels on à l'inégalité (3) tend vers l'unité. L'inégalité le

log, n

(3) équivalant maintenant (pour y = , N=—"n) à l'inépalité 4} à

proposition énoncée est bien établie.

8. On obtiendrait des résultats analogues si l’on posait le même problème d'une façon un peu différente.

Proposons-nous de déterminer une limite supérieure de [y(2)| en tous les points de certaines circonférences ayant leur centre à l'origine.

On a, en posant |a,| = 7;

. 138 : '; La somme Z relative aux pôles pour lesquels AE 1 +0

se calcule comme au $ 5.

Supposons d'autre part que » soit situé dans l'un des intervalles définis au $ 26 de la première partie. On aura en conservant les notations de ce paragraphe, lorsque

PET yes