P. Boutroux

les inégalités

I IN I N =: ce re = Titi EE 1 {l k+i 7 17

I N I N Vu ETE 4 PURES ET U11

Si donc nous considérons tous les pôles (au nombre de ») pour lesquels T Ti ç CR À — <1+09 ou —<1+9, la somme ZX correspondante sera inférieure à Ti te N

h— log», k étant un nombre positif fini.

Le résultat subsistant tant que N> 4» et » étant inférieur à x et à A, nous pouvons énoncer la proposition suivante:

Si l’ordre op n'est pas entier, il existe une infinité de cercles ayant leur centre à l'origine et des rayons indéfiniments croissants tels que lon ait en

chacun de leurs points n log n

POLE h étant une constante positive finie et n le nombre défini au $ 14 de la première partie.

Si l’ordre p de (2) était entier on remplacerait, comme plus haut, l'inégalité précédente par MOIS 7 (k entier, À, h, finis).

Nous bornant au cas où jp n'est pas entier nous généraliserons la pro-

n log n...log4 n

position précédente comme celle du $ 6. Si nous considérons sur l'axe des 7 un segment de longueur 7, nous pouvons affirmer que les points r" de ce segment tels que l’on n'ait pas sur tout le cercle de rayon 7 l'inécalité

| hn log n log, n (4) [HER

forment des segments dont la somme est infiniment petite par rapport au seoment total.

KRapprochant ce résultat de celui du $ 7, nous énoncerons la proposition suivante:

Soit une aire À proportionnelle à 7°, par exemple le cercle C' de centre O et de rayon >. Les régions de ce cercle où l'inégalité (4) n'est pas vérifiée forment une aire infiniment petite par rapport à l'aire totale À.

9. Ainsi, si l'on prend la précaution d'exclure du champ de la variable le voisinage immédiat des pôles, on peut limiter le module de g(4) exactement comme on à fait pour celui de la fonction entière (2).

On obtient d'ailleurs immédiatement une réciproque du théorème dé: montré au paragraphe précédent.

Supposons que le long d'une circonférence C de rayon r, on ait luta)] < Gr)

Soit # le nombre des pôles de g(z) dont le module est inférieur à P. Or'a

d'où

J étant un nombre positif fini.

QS à . ; CD MD nvnpn SON NnD Jo , - . 00)

Si, quel que soit r, à existe une circonférence de rayon 7 (n fin) jouissant de la propriété indiquée, on peut affirmer que l'inégalité (s) est vérifiée pour toute valeur de r.

Les nombres # et #’ qui figurent dans les inégalités (2), (4) et (5) sont ceux que nous avons déjà rencontrés dans la première partie. Nous avons vu que, lorsque l’ordre © n'est pas entier, ces nombres sont sûrement égaux pour une infinité de valeurs de > indéfiniment croissantes. Nous avons de plus défini au $ 18 les cas où ils coïncident pour toute valeur de 7. La comparaison de ces deux nombres, dans le cas où 9 est entier, a été faite aux $$$ 22 et 23.

Le voisinage des pôles ayant été exclu du champ de la variable, comme il a été dit au $ 8, désignons par #(r) le module maximum (pour [2| —?)

)6 P. Boutroux.

de g(z) dans les régions restantes. Nous déduirons en particulier du thé-

orème du $ 8 et de l'inégalité (5) que si, à partir d'une certaine valeur P Fe . . , - ne de », le rapport — reste compris, quel que soit à, entre deux nombres finis, U

mr a S : HA t le rapport 2 sera supérieur à un nombre fire et inférieur à logr.

Si l'on reprend l'expression employée pour les fonctions entières, on peut dire que, dans ce cas, la croissance de la fonction g(z) est parfaitement régulière. Mais la fonction-type à laquelle on compare le module de g(2) est, cette fois, une puissance finie de x, au lieu d’être une exponentielle.

Plus généralement, si l'on a, à partir d'une certaine valeur de à, quelque petit que soit €,

HAE TEEN et on aura, à partir d'une certaine valeur de r,

pri < m(r) = Er

, I es’ tendant vers zéro avec —.

10, [Il nous reste à démontrer un théorème correspondant à celui du $ 20 de la première partie.

Supposons que l’on ait, à partir d'une certaine valeur de 7

ln ee MALE (4 positif fini), * n étant l'inverse de la fonction L ai # retd(n)i=nt ilot s eatios a

l'ordre p n'étant pas entier.

Je dis que lon a. à partir d'une certaine valeur de à

Tj ' : $ OU A — < h"(log ti)” (4', 7 positifs finis).

her (a)

Supposons, en effet, que lon ait, pour des valeurs #, de À indéfini-

ment croissantes

Fr, = KOÛ )Üoe nee

K dépassant, lorsque 7, augmente indéfiniment, tout nombre assigné d'avance.

Faisons jl “A r1—8 on ES p £ EN N NEUE AS r = KT Fp(n, (log n.) (B positif, mférieur à 1).

On aura, d'après les calculs effectués au $ 20 de la première partie

” A2 D co p ii T7 À SITE 2 ru 0) Ÿ __— se: "y. )? > = = k | Ones Vus Us < K (log n,) 7 ? .P+1 en (log n) Tr ?

m Ti ny T à

RE CA OCR

c étant un nombre positif.

D'ailleurs le nombre »# des pôles de module inférieur à r est inférieur

4 1 Coulon

n'log nn < 4K TE

On aura done, dans les régions définies au $$ 7 et 8 lu) < &=on (e positif,

ce qui est en contradiction avec les données. L'hypothèse faite sur 7, est donc inadmissible; ce qu'il fallait démontrer. En particulier, si la croissance de g{z) est parfaitement régulière, c'est-

à-dire si m(r) est proportionnel à 7°, à partir d'une certaine valeur de

r, on aura, à partir d'une certaine valeur de à

Ta AE à , , : Ne x R<Æ< loge (h', h" positifs finis).

11. l'étude de la fonction méromorphe g{z) conduit, on le voit, à des résultats qui rappellent de très près ceux que nous avons obtenus relativement aux fonctions entières. Afin de mettre mieux encore cette connexion en lumière, je vais maintenant comparer la croissance de ÿ(z2) à

celle de la fonction entière (2).

58 P. Boutroux.

Désignons par #° le nombre des points 4; dont le module est inférieur

à 97, y tant lui-même inférieur à =, je dis qu'en une infinité de points à

de modules indéfiniment croissants, on a simultanément les inégalités

, Tr

|G(2)| > e!, lg()1>R =,

h et k, étant des nombres positifs finis.

Posons comme au $ 14 de la première partie

Gr) ='@(e) II (: — À).

On a, quel que soit z sur le cercle (' de rayon » ayant son centre à l’origine,

n Z ’ Pere 24 (7) 10: (: >e*”. (h positif et fini.

Qi, * s : É Ve I > On calceulera de même une limite inférieure de | Ÿ me | Par exemple pe — À;

si z est réel, et égal à £ (£ — 7), on aura pour i < #

D'où

(8) LIDSES ile ke (A positif fini).

Donnons maintenant à 7 une valeur particulière »,. Quel que soit r,, il existe sur le cercle (© de rayon 7, des ares le long desquels la partie réelle R[log G,(2)]

est positive. (Première partie $ 17.) Parmi les rayons issus de l'origine et aboutissant aux divers points de ces arcs, il en est une infinité sur lesquels la fonction Æ[log G&,(2)] est continue ainsi que sa dérivée. Nous avons toujours le droit de supposer, après avoir fait, si cela est nécessaire,

le changement de variable 3 — ze que l'axe réelle est l’un de ces rayons,

et nous aurons alors pour 2 — £ — 7, l'inégalité

R[log Gate )| ui

On peut d'ailleurs disposer de la nouvelle variable z' de façon que £ soit

arbitrairement grand, et par suite, (si £, est un point donné de l’axe réelle

(& LL), et #, la valeur correspondante de #;), de façon que l'on ait

(0) fn log © > [log G.(£)]

étant un nombre inférieur à k. Nous concluons de là qu'il existe entre

£, et &, des points € tels que l’on ait

d'log G.(£) W

(10) HE er dé £

en effet, sil n'en était pas ainsi, l'intégration du premier membre de &, à

£, donnerait

log 6, (811 < log G(E)]— Hloge <o,

£ ce qui est contraire à nos hypothèses.

Nous pouvons affirmer en outre qu'il existe des points £ où l’on à

simultanément l'inégalité (10) et l'inégalité Éflog G,(£)] > o.

Supposons en effeb que cette dernière inégalité ne soit pas satisfaite aux points € définis plus haut; comme elle l’est au point &,, il existera sûrement entre £ et £ des points & où la fonction Æ[log & (£)] sera positive est croissante: l'inégalité (10) sera donc satisfaite en ces points, qu'il est loisible d'appeler &.

D'ailleurs les inégalités (7) et (8) sont toujours vérifiées en €, et l’on a n<n (puisque ZE). Il en résulte que l’on a simultanément les inégalités

ar : ) nd log G(£) ; 1 n' (11) R[log G(E)] > hw, k ee : > (k — kb)

h et k—%k, étant des nombres positifs finis, ce qu'il fallait démontrer.

60 P. Boutroux.

12. En supposant l'ordre o de G(£) non entier, nous pouvons com- £ a L 2:52 ] e . S à QE pléter encore le résultat précédent. Nous avons vu que pour une infinité

de valeurs de > indéfiniment croissantes, on a [G(E) | < e"" et de même [G(E)| <e“" (4 potitit fini),

n'ayant la même signification qu'au $ 11.

Supposons, en particulier, ces inégalités satisfaites pour z réel est égal à È

.. Nous voyons alors qu'une condition suffisante pour que l'inégalité

(ao) soit vérifiée est que l'on ait

kon loger >,

ou & h H>et, ce qui laissera fini le rapport "

Sachant que ce rapport est fini, nous constatons d'abord, (d'après le théorème fondamental démontré dans la première partie), qu'en tout point

£ compris entre &, et & l'on a? comme en A

Eee" (k, positif fini).

D'autre part, nous savons ($ 8) que l’on à, dans une infinité d'intervalles partiels compris entre £ et £, l'inégalité G(ÉY n' log n' ) VS £ >» $ SD à .

(12) ] G(E | <E, FR (A, positif fin).

Je dis qu'en ne tnfinité de points £ cette inégalité sera satisfaite en même temps que les inégalités (11).

Supposons en effet qu'en un point £’ ces dernières inégalités soient

seules satisfaites, et donnons maintenant à #’ une valeur fixe proportionnelle

Le «

à 5. Appelons £; la première valeur de £ supérieure à £’ pour laquelle

! pour toutes, si la croissance de G(z) est régulière.

? 4 t à + 4 pour # 5, comme pour » —&,, le rapport de n° au nombre # du $ 3 est fini.

rapport ë est fini, en vertu du théorème du $ 8). Au point &; l'on a

n[° log ] J n' log n° t 4 — (V;

/ dé : Ë:

on ait l'inégalité (12) (£ peut être cette fois plus grand que £, mais le t

et en même temps R[log G(£;)] nn

puisque la fonction Æflog G(£)] n'a pas cessé de croître dans l'intervalle

Ki e

13. Di nous revenons maintenant à la variable z et si nous remplaçons £ par sa valeur >, nous pourrons interpréter comme il suit les inégalités précédentes.

r(2) est une fonction entière d'ordre non entier et # le nombre défini au $S 11, on aura simultanément pour une infinité de valeurs de 2 s'éloignant indéfiniment de l'origine, l'égalité

e* (2) an PL

PIS LOME

het Gb) = bp Don

gp étant un nombre positif Supérieur à un nombre fini et inférieur à log w.

Cette proposition permet d'étudier la croissance de la fonction #' de

, lorsque le produit (2) est défini par une équation différentielle du

premier ordre à laquelle il est supposé satisfaire. On substituera dans

l'équation aux expressions e*@G(z2) et Rfe*G'(z)] les valeurs qui viennent

d’être données, et l’on calculera #' en égalant le résultat à zéro.

14. Les propositions précédentes ne fournissent, certes, que des renseionements très vagues sur l'allure générale de la fonction g(2). Mais elles mettent en évidence l'existence de certaines régions qui offrent quelque intérêt au point de vue théorique. Dans ces régions l'influence per-

turbatrice exercée par les pôles sur la croissance de la fonction est la même

62 P. Boutroux.

que si la distribution de ces pôles était uniforme: C'est ce qu'expriment les inégalités (3). Il existe par suite des portions étendues du plan (par rapport auxquelles toutes les autres seront négligeables si l'on se contente de l'inégalité (4)) où l'influence des pôles sur l'ordre de grandeur de la

fonction est, elle aussi, négligeable. Cet ordre de grandeur dépend uniquement de la nature de la singularité essentielle dont on s'approche, exactement comme il arrivait pour les fonctions entières. On voit par là que le mode de croissance de g(:) est bien un élément fondamental de cette fonction, indépendant de la situation particulière des pôles.

Des considérations de cette nature sont nécessaires pour justifier l'étude de la croissance lorsque l’on a à faire à (les fonctions méromorphes. Elles s'appliquent en revanche à des classes de fonctions beaucoup plus étendues que celle des fonctions y(z).

Considérons par exemple une fonction méromorphe qui n'ait que des pôles simples, les résidus correspondants étant des nombres finis. Il est facile d'étendre la notion de genre à de telles fonctions. Si l'on a une fonction de la forme

ANNE, (13) Fa=Y

=) a? (z — &) u AP H(z) étant un polynôme de degré p— 1 au plus, et la somme ÆZ étant absolument convergente dans tout le plan, excepté aux points singuliers 4, on pourra dire que la fonction * f(2) est de genre p. Les nombres 0; étant tous finis, il est clair que (2) satisfait, dans les mêmes conditions que (2), aux inégalités (1), (2) ou (4). Si l'on voulait généraliser encore ce résultat, il faudrait supposer que

au heu de rester fini est, comme @,, une fonction croissante de l’entier

i. La méthode des paragraphes précédents s'appliquerait encore à ce cas.

fonctions méromorphes de genre p» ne seront qu’une catégorie très particulière de la classe des fonctions qui s'expriment par le quotient de deux fonctions entières de genre p. La plupart de ces dernières fonctions seront, à notre point de vue, de genre infini; car leurs résidus deviennent généralement infiniment grands avec r. On rencontre de graves difhicultés lorsqu'on essaye de développer de telles fonctions sous la forme (13). Cette forme de développement a été étudiée par M. BoREL dans un important mémoire publié en 1901 dans les Annales de l'École Normale Supérieure.

Les dérivées successives de q(z).

15. Pour rendre les résultats précédents applicables à l'étude des

équations différentielles algébriques d'ordre supérieur au premier, il faut

étendre nos considérations aux dérivées successives de la fonction g(2). La proposition du $ 3 se laisse aisément généraliser. On a

, : Pl gP Er a

ai — a) ai —ai

Nous bornant au cas où l'ordre 9 du produit infini &(z) n’est pas entier, supposons qu'il existe un angle fini 7 ayant son sommet à l’origine et ne contenant aucun des points 4,, on aura, lorsque 2 est dans l'angle

r de même bissectrice:

[ze — a, > r:— afsin?

et par suite

rlg'(e)| < {p + ne de Sn

sin — Or nous avons déterminé au $ 3 une limite supérieure de la somme oo) qui figure dans le second membre. Si nous introduisons de nouveau la fonction d(x) de ce paragraphe, et si nous posons

d(n) = (y fini)

nous aurons Lg'(e)| < he CR

h et h, étant des nombres finis, et @(7) désignant comme au $ 3 la fonction inverse de @(3).

Le même raisonnement s'appliquant à une dérivée quelconque de

g(z), on aura