HAE
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h cet h, étant finis En d’autres termes, on à le droit de dériver autant de fois qu'on le veut l'inégalité (1). Cela n'était, comme on sait, nulle-
ment évident à priori.
16. Ces résultats si simples ne subsistent malheureusement pas dans le cas général où il n'existe pas d'angle fini 7 ne contenant aucun pôle de la fonction. Nous allons, pour étudier ée cas général, faire appel à des considérations analogues à celles du $ 6. La difficulté du problème provient, ici encore, des pôles qui sont voisins du point z où l’on considère la fonction. Nous pouvons donc, pour un instant, faire abstraction des autres pôles.
Soit À une aire proportionnelle à H°r° et contenant le point z. La forme de cette aire n’important pas ici, je supposerai qu'elle est un carré de côté égal à Ar. Soit » le nombre des pôles de g(2) contenus dans ce carré, et soit N un entier tel que l’on ait, par exemple N° > 32». Décomposons le carré À en N° petits carrés tous égaux ayant leurs côtés parallèles. Nous désignerons ces carrés par
À chaque pôle a, contenu dans À je vais faire correspondre un certain nombre de carrés D que jexelurai du champ de la variable 2. Cette correspondance satisfera à la condition suivante: si z est un point quelconque du champ conservé, l’un au moins des carrés correspondant à a; aura tous ses points plus voisins du point z que n'en est 4. Pour établir une telle correspondance entre les pôles 4; et les carrés D, je procèderai comme 1l suit, ombrant au fur et à mesure les carres choisis.
Soit 4, un pôle situé dans le carré b,: nous ombrerons, s'ils ne le sont pas déjà, le carré b,, et les huit carrés, b,...b$, qui l'entourent. Si quelques-uns de ces carrés, par exemple #, 4,0, sont déjà ombrés,
nous ombrerons tous les carrés (en nombre inférieur à 16) qui touchent à la figure formée par 0,4, b;,0,,0;. Mais il se pourra que dans certaines directions les carrés qui avoisinent immédiatement cette figure soient eux-
mêmes déjà ombrés: voici alors comment on opèrera. Menons par 4; les
parallèles aux côtés du carré À, et divisons chacun des quatre angles droits ainsi formés en quatre angles égaux; nous formons ainsi seize angles dont je considérai l’un en particulier, l'angle wa;u' par exemple. Traçons ensuite des cercles 7° de centre a; et de rayons croissants, et soit 7° le premier de ces cercles qui touche, dans l'angle wa;u', à un carré non encore ombré. 1° détermine dans l'angle wa;u' un secteur «a;c; tout
entier extérieur au carré D,. Si alors 2 est un point quelconque situé dans une région non ombrée de l'angle wa;u', il est clair que tout point de à, est moins éloigné de z que le point a;. Désignons en effet par À la distance de a, à z, par r le rayon a;c, et par p le côté de b,. f étant un point quelconque du carré b,, nous pouvons remplacer le chemin /2 par un chemin, plus long, ainsi composé: un segment fe, parallèle à l’un des côtés de b,, dont la longueur est inférieur à o, un arc ed de la circonférence de centre 4; passant par €, arc dont la longueur est inférieure
7TI r F \ ‘ y, « (r <r' LT + bo), enfin un segment d2 du rayon 4,2, égal à R —7r. 8 ; \ #) le] a a &
Le chemin total est inférieur a
et par suite à /?, du moins si > > 29. Or lorsque r < 29 nous retombons dans le cas simple traité plus haut où certains carrés avoisinant immédiatement soit 0,4, soit les huit carrés qui l'entourent ne sont pas encore ombrés. Ecartant ce cas particulier, nous voyons que si dans chacun des seize angles qui entourent @,, nous faisons correspondre à ce pôle un carré tel que b,, la correspondance ainsi établie satisfera bien aux conditions voulues.
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Si plusieurs carrés jouissent de la même propriété que b;, on choisira l’un quelconque d’entre eux. Si 4; est un pôle multiple on recommencera
l'opération précédente en supposant ombré le carré b,.
17. Cette suite d'opérations fait correspondre à chaque pôle 4; 16
: ; ; à 15 carrés D au plus. Si done N°> 32», il restera finalement plus de —carrés non ombrés. [1 y en aura donc, parmi ceux-ci, dont tous les points seront à une distance du contour de l'aire À supérieur à 7Hr, » étant un nombre fini. Soit z un point d'un tel carré. Ce point jouit des propriétés suivantes: les pôles les plus rapprochés de z en sont à une distance
Lé
me à 1 : ? : ;
supérieure à —, et ils sont au nombre de 8 au plus; d'une manière géné- : L Sa . Tr
rale, le nombre des pôles dont la distance à z est inférieure à est
inférieur au nombre des carrés d dont les points sont à une distance de 2
égale ou plus petite; ce nombre est donc inférieur à 47{7 + 1). Modifions
alors la disposition ordinaire des indices des pôles situés dans l'aire À et classons ces pôles d’après leur éloignement du point z. Nous aurons
FE
[e—a [> Hx..
.[2—a| > H=, ÊE ana | = EE Le : [2 it Gjci-1+0 | 7 Hs
le nombre des pôles dont la distance à z est comparée à = étant égal 4009. 7j croit. de 1 à. et l'on a:2u = Vy.
On déduit de là les inégalités
a" is T 72 1H \ -r l . £ Ÿ sj 8 RE N
An Mb ere pa y 22 9 T
: = I de és SRE (14) pape 2 Vrn<k logs (% nombre fini)
[l A t ] “ - I è Nes Ne — U® > PU £ Da 8j <h— (k, nombre fini)
et ainsi de suite.
On peut interpréter simplement ces inégalités en disant qu'au point 2 les sommes précédentes ne peuvent dépasser la valeur qu'elles prendraient Si la distribution des pôles @; était uniforme, c’est-à-dire si chacun des carrés b sauf ceux (au nombre de 9) qui avoisinent immédiatement 4 con-
tenait un pôle et un seul.
18. Ces divers résultats étant acquis nous pouvons calculer au point 2 une limite supérieure des modules de y'(2) et de ses dérivées.
Considérons la somme
LE 21 De ai(z — a;)
LAC SOS 2 Lorsque 4, est dans l'aire À définie plus haut, le rapport
est fini.
La somme Z correspondant aux pôles situés dans À est donc inférieure,
en module, à He log / (A positif fini).
n' étant le nombre défini au $ 5, le rapport -; sera sûrement inférieur à
+ on un nombre fixe, si l’on prend, par exemple, pour N° le plus petit carré de nombre entier supérieur à 322. Si alors nous supposons fini le nombre H, le module de la somme Z sera inférieur (puisque 2u < \/}) à
n'log n’
h, = (h, positif fini).
Considérons maintenant les pôles restants et d’abord ceux (en nombre #) dont le module est inférieur à 7. Pour chacun de ces pôles, on a
[2 al > kr (4 positif fini).
Par suite, si l'on suppose que l’ordre o du produit de facteurs pri-
maires (2) n’est pas entier, on aura
n étant toujours le nombre défini au $ 3.
définiment avec r. Cf. $ 19 et $ 26.
(S P. Boutroux.
Pour les pôles de module supérieur à 7, qui sont extérieurs à l'aire
