LA
La somme Æ correspondante sera donc inférieure, en module, à
A, on aura
a| > kr; (k positif fini).
d'OS I en , HR et nn Oro dr (ce, positif fini).
n Ur: À Nous avons done finalement Ÿ 2P n n' log n° me ere D |<h= + h —— (k,h, positifs finis).
P/ 2 7? 1 7? Sr à ?
Taie GS) ë à D'ailleurs la somme Le gp—1 Tai (2 — a) / à q(a) A . « VS égale à la()l est sûrement, au point z, inférieure au second membre de £ -
cette inégalité.
Nous pouvons alors énoncer le théorème suivant:
Si l'ordre de G(2) n'est pas entier, il existe une infinité d'aires indé- Jiniment éloignées de l'origine, où l’on a
n log n
(x5) gl < a,
k restant inférieur à un nombre fixe, et n ayant la même signification qu'au S 3.
Si l'ordre p était entier, on déterminerait le nombre 7 comme au $ 22 où au $ 23 de la première partie, et l'on remplacerait l'inégalité (15) par
une inégalité de la forme
h, n logx
< hr? + me (k entier, !, h, positifs finis).
On vérifie d'ailleurs aisément en se reportant aux sommations précédentes que l’on à dans tous les cas
Li * à n log dv
[g'(2)| <h ant + erl,
k I e tendant vers zéro avec -.
19. Insistons maintenant sur le cas où l'ordre 9 n'est pas entier.
Il résulte de la démonstration du $ 18 que si le rapport ps est fini, (nous avons vu qu'on peut prendre en tout cas N° proportionnel à 32»), la somme des carrés partiels dans lesquels l'inégalité (15) est satisfaite est dans un rapport fini avec l'aire totale A. Si l’on remplaçait la constante X par une fonction croissante de #, par exemple par loglogn, on pourrait aller plus loin. Considérons par exemple le cercle C'de rayon > ayant son centre à l'origine. Je vais montrer que les régions de l'aire C dans lesquelles l'inégalité
n log n .log, n
(16) FACOIES =
n'est pas vérifiée ont une somme infiniment petite par rapport à l'aire totale ©. Supposons en effet que le côté du carré À soit égal à ar, le nombre a étant arbitrairement petit avec … Pour tout pôle 4; situé en dehors de l'aire À on aura les deux inégalités [2— a;| > akr, [2— ail > «kr, (k, positif fini). Si donc dans le paragraphe précédent on fait 4 — ak, on constatera que la somme Z correspondant à ces divers pôles est inférieure à . (c positif fini). Faisons d’autre part au $ 17 N—n, H—a. La seconde inégalité (14) nous montre que l’on a dans certaines régions de À
ar
- I hn° log y PART > E Je af? CEE ETRT PA (A positif fini).
20 ARE AIRALEE g(z) On vérifie de même que, dans les régions considérées le rapport Las
70 P. Boutroux.
est inférieur au second membre de cette inégalité. Il en est par suite de même ! de |y{z)|.
5 re ll PSE - re Faisons en particulier « — te : l'inégalité (16) se trouve satisfaite 08,
dans certaines régions de l'aire A. Or il est clair que quelle que soit la situation du carré À dans le cercle (, le nombre » des pôles qu'il contient deviendra, lorsque x croîtra, infiniment petit par rapport à N':1l ne pourra en être autrement que pour un nombre limité de carrés À dont la somme
Fe I SES est elle-même infiniment petite (avec -) par rapport à l'aire totale du ;
, sur ’ \ cercle C. D'autre part, si N est très petit, le rapport à 4 de la somme
des carrés partiels b où l’on a les inégalités (14) tend vers l'unité. C'est bien le résultat que j'avais annoncé.
20. Une méthode identique permettra d'étudier la fonction g''(2) et ses dérivées successives. Nous pouvons donc, sans reprendre la suite des # e F2 7, 1 h 4 raisonnements précédents, énoncer les résultats suivants qui résultent des inégalités (14).
Il existe des aires indéfiniment éloignées de l'origine où l’on a, en même temps que l'inégalité (15) les inégalités
ni Di vuie 2y
(17) [g'"(2)| < h, ne ) [g'"(2)| < }
h, et h, étant des constantes positives finies.
De même, en raisonnant comme au $ 19, on constatera que dans des régions du cercle C’ dont la somme à avec l'aire totale C'un rapport tendant vers l'unité, on aura en même temps que l'inégalité (16) les inégalités
Si l'ordre p était entier, il faudrait également diviser par &° la limite obtenue
au $ 13. On a, en tout cas, dans certaines régions du carré À de côté ar l'inégalité
hn° log y € Le] ee p— : — y? JA
LA g(a)| < — = GI < ES + > ; I £ tendant $ 1eTO “€ CG z tendant vers zéro avec r
Sur quelques propriétés des fonctions entières. del
(18) [g"(2)| < : me ne VHOIE LE ji. ù pe
log, x peut d'ailleurs être remplacé par log, #, où par une fonction de * croissant moins vite encore.
La méthode qui vient d'être employée est susceptible d’autres applications encore. On peut l'employer pour déterminer une limite supérieure du module de la fonction g(2) elle-même et l’on obtiendra ainsi une limite plus précise que celle à laquelle nous sommes parvenus plus haut, (dans des régions moins étendues il est vrai).
Il résulte en effet de la première inégalité (14) que si l'ordre o du produit de facteurs primaires G(z) n'est pas entier l’on a en même temps que l'inégalité (15) l'inégalité nv
[a(a)| <h (k positif fini).
Cette limite est particulièrement intéressante lorsque la fonction g(z) est
LA
à croissance réculière. Désignons par #,(r) le module maximum (pour
[2] — 7) de g(z) dans les régions où l’on a l'inégalité (15). Nous pouvons 2 z ; . 7, compléter la proposition énoncée au $ 10 en disant que si le rapport Fe
reste, quel que soit r, inférieur à un nombre fini, en sera de même du D
FAPPOTÉ ———.
P} ue
21. La notion de croissance régulière s'étend immédiatement à la fonction g'(z) et à ses dérivées. Considérons par exemple, la fonction g'(2). Appelons »,(r) son module maximum (pour |2|[— 7), dans les régions où
home TA me, (or les inégalités (17) sont satisfaites et supposons que le rapport Le reste
à partir d'une certaine valeur de 7, compris entre deux nombres finis. On peut dire alors que la croissance de g'(2) est parfaitement régulière.
Dans ce cas, nous démontrerons, en raisonnant comme au $ 10, que l'on a à partir d’une certaine valeur de à
TieWlogi (W positif fini).
CO
P. Boutroux.
22. Les divers résultats que nous venons d'obtenir s'étendraient immédiatement à des fonctions méromorphes plus générales que la fonction g(z) et ses dérivées. Considérons comme au $ 11 la fonction méromorphe que l’on pourrait appeler fonction de genre p
/ b; B * f(2) FT Ÿ p H(2), Ai
H(z2) étant un polynôme de degré p— 1, et les D, éfant tous des nombres finis. Nous avons vu que le module [f(z)[ a même limite supérieure que [g(2)[. On constaterait de même que [f'(2)|,[f"(2)], .. satisfont dans les mêmes conditions que [g'(2)|, [g'(z)|, ... aux inégalités (15) et (17) ou (16) et (18).
23. Le module des fonctions g'(2), g'(2), ... atteint-il effectivement la limite supérieure que nous lui avons assignée? Il est certain que ce module prendra des valeurs arbitrairement grandes si l’on approche suffisamment d’un pôle. Mais, si l’on entoure chaque pôle d'un petit cercle [g'(2)| pourra-t-il atteindre sa limite supérieure en dehors des petites aires ainsi formées? Pour répondre à cette question, nous remarquerons que la proposition du $ 9 se généralise très facilement.
On a
Loan I I 2% D —LT2rez —r@=Y] dE Res SE Ve ® E |
ns : = (z — di) a; 4 ; «ul À
Considérons alors l'intégrale définie
en désignant par © le contour d'un cercle © de rayon 7 sur lequel la foncetion g'(z) est continue, et soit #' le nombre des pôles de ÿ(2) contenus dans ce cercle. Ces pôles sont aussi ceux de la fonction — 2y(2) et les résidus correspondants sont égaux à l'unité. On a donc
| — 29 (e)de=n.
Do + D l ; : : ; : 2 .
ou nous concIuons qu en certains points de la circonférence C' on a
La même méthode s’appliquerait évidemment à une dérivée quelconque de g(2). Ainsi, en considérant l'intégrale à 27g%(2)de, on prouverait qu’en certains points du cercle ©, on à
nm’ MER
al
Au lieu d'intégrer la fonction — zg'(2) le long du cerele (, on pourrait l'intégrer le long d’un contour fermé quelconque sur lequel cette fonction est continue. Si la longueur du contour est #r, le nombre des zéros enveloppés #,#', 7 et 7, étant des nombres finis, on aura en une infinité de points du contour considéré
Cette inégalité est satisfaite le long de lignes telles que tout contour satisfaisant aux conditions précédentes soit traversé par une infinité d’entre elles. Ces lignes ne peuvent donc pas être contenues tout entières à l’intérieur de petits cercles entourant les pôles. L'inégalité (19) est bien caractéristique de la fonction méromorphe g'(2). L'application suivante va nous permettre d'ailleurs de nous en rendre mieux compte.
