Posons

mn et supposons que y satisfasse à une équation différentielle de la forme

uw étant une fonction quelconque de z, connue ou inconnue, qui s’efface

devant les deux premiers termes de l’équation lorsque z s'approche d’un pôle de y. En d’autres termes la fonction # est telle que le rapport —

tende vers zéro, lorsque z tend à se confondre avec l’un des pôles de y. Je vais chercher à déterminer les rayons des cercles dont il faut entourer les pôles pour que la perturbation apportée par eux dans la croissance de y ne se fasse plus sentir en dehors de ces cercles, c'est-à-dire pour que les grandes valeurs de y ne dépendent plus, dans la région respectée, que des théorèmes généraux.

Étudions la fonction y au voisinage de l'un de ses pôles sans nous préoccuper d’ailleurs de savoir dans quelle mesure ce pôle est isolé. Excluant du domaine étudié l'entourage immédiat du pôle, désignons, d’une manière précise, par & eb À deux nombres positifs (qui pourront, en même temps que » dépasser tout nombre donné), et tels que les inégalités

(20) [ul > & et (21) [y] < &À entrainent autour d’un point 4, où elles sont satisfaites, l’inégalité L<ely

= étant un nombre positif donné, arbitrairement petit.

Considérons un chemin 2,2, dont la longueur soit à un facteur fini près égale à |z,—z2|, le long duquel les inégalités (20) et (21) seront supposées satisfaites. On a, le long de ce chemin UR

RU avec Li SE

D'où, par intégration

= (1 de, éme)

2V5 2Vy

le rapport — étant fini.

on. |

Cela posé, étudions y au voisinage d'un point 4, où l’on ait Yo TR &À,

| | étant compris entre un nombre fixe supérieur à 1 et un nombre crois-

l : CAL à :

sant /, tel que le rapport 7 devienne avee — inférieur à tout nombre donné. A Yi£

Faisons

ECS SA | ; Le c’est-à-dire le long d’un chemin quelconque issu de z,, tant que les inégalités

(20) et (21) seront satisfaites sur ce chemin.

et Supposons que les inégalités (20) et (21) ne cessent pas d’être vérifiées

le long du chemin 4,2. On aura en z,

(22) eat Ho OA VY VY

Le numérateur du second membre aura un module fini (non infiniment petit), si 7 est, dans son plan, en dehors d'un cercle de rayon fini ayant

son centre au point —1. Il faut pour cela que z soit en dehors d’un I et

cercle 7 qui a son centre au point 4, — et son rayon égal à el ART o)

Mer I (} positif fini; par exemple } <-, de sorte que le point 4, est en dehors

durcercle ?).

Soit alors 2 en dehors de 7 et à une distance de son centre égale à

k È Vore 5 . \ CR Lee É ll (& positif). On déduit de (22) les inégalités I (I — e )k — = Vi” veli ou &|2| (23) EE ee?

et dr &|À| e Eni (24) [y | à Qi 2 so ke? (a ni).

Pour que les inégalités (23) et (24) soient vérifiées le long d’un chemin ne traversant pas 7, il suffit que les inégalités (20) et (21) ne cessent pas d'être vérifiées le long de ce chemin. Or, d’après les hypothèses faites sur À l'inévalité (23) entraine nécessairemont l'inégalité (21) lorsque 7 est assez grand. D'autre part, l'inégalité (20) est une conséquence de l'iné-

0 ; galité (24) tant que l’on à (1 +e)# < TA.

. | I Considérons alors un cercle o de centre z, et de rayon égal à ———=. G+e) Va Le long d’un chemin z,2 (ne pénétrant pas dans y) intérieur à o, les inégalités (23) et (24) entraînent (20) et (21), et d'autre part ces inégalités,

satisfaites en z, ne peuvent cesser d'être vérifiées avant (20) et (21). Elles sont donc satisfaites dans toute la portion du cercle s extérieure au cercle y. Désignons maintenant par 4 un nombre positif qui croîitra indéfini-

. : : sn l

ment avee 7, mais moins vite que L, (c'est-à-dire tel que le rapport ® croisse aussi indéfiniment), et traçons à l’intérieur de & un cercle concen-

trique à y ayant pour rayon Je remplacerai ce cercle, pour

RE) Nanx simplifier, par le plus petit cercle « de centre z, qui le contient, cercle

: is L I € ; dont le rayon est manifestement supérieur à Te (= fini). Lorsque — €&,)Va ‘€

2 est sur le contour du cercle c, on a

He lis le à a

On aura par suite sur ce contour, en vertu de (23), l'inégalité (25) [ul < a&.

Si maintenant nous sortons du cercle « pour nous rapprocher du contour de o, le nombre k# qui figure dans l’inégalité (23) continuera à croître, et l'inégalité (25) ne cessera pas d’être vérifiée. Elle est donc vérifiée dans toute la couronne comprise entre € et a.

Cela posé, considérons la couronne D) limitée par les cercles de rayon r, et #7, (7 nombre fini plus grand que 1, par exemple » — 2) ayant leur centre à l'origine. Je supposerai que l’on sache déjà (par exemple en vertu du théorème du $ 18) que l’on ne peut pas avoir dans toute la couronne D

Si l'inégalité (25) n'est pas satisfaite dans toute la couronne, on pourra

sûrement trouver à son intérieur un point 2, où l'on aura

ao <|y| < ©.

À ce point correspondront un cercle 7,, un cercle c,, de rayon supérieur

‘ à 7 ; Le rayon de c deviendra infiniment petit par rapport au rayon de & lorsque r

et & augmenteront indéfiniment,

St |

ss à ne entourant 2, et y, eb un cercle 5, entourant «. Sur le contour 10)

de €, on aura l'inégalité (25).

Supposons encore qu'en dehors du cercle c,, l'inégalité (25) cesse d’être vérifiée en certains points de la couronne 1). Joignons l’un de ces points, 2, au contour de €, par un chemin (extérieur à c,) sur lequel y est continu. Il existe nécessairement sur ce chemin un point 4, ou [y| est compris

entre a& et &l,; nous construirons alors comme plus haut un cercle c, de

rayon supérieur à 0 entourant z,, et sur le contour duquel on aura a l'inégalité (25). Ce cercle est tout entier extérieur au cercle c,; en effet,

d'après ce qui précède, le point 4 ne peut se trouver à l’intérieur du cercle o,, Concentrique à €; or le rapport du rayon de o, à celui de c mente indéfiniment avec r.

1 OUES Nous répéterons la même opération autant de fois qu'il sera nécessaire.

S'il existe dans 1), en dehors des cercles c déjà tracés, un point z où l’on n'ait pas l'inégalité (25), nous on conclurons (en joignant z, au contour d'un cercle c) qu'il existe encore {dans D) en dehors des cercles c, un point où |y| est compris entre a& et &l; nous entourerons alors ce point d'un nouveau cercle €, qui est extérieur à tous les autres, et sur le contour duquel on aura l'inégalité (25). Lorsque l'opération aura été répétée un certain nombre‘ fini de fois il n’existera certainement plus de point z, en dehors des cercles c; en effet nous avons une limite inférieure des rayons de ces cercles, et nous savons d'autre part, qu’ils sont tous intérieurs les uns aux autres; le nombre des cercles « que peut contenir la couronne 1) est donc nécessairement fini. Ainsi lorsque nous aurons achevé la construction des cercles c, nous pourrons affirmer que l'inégalité (25) est satisfaite en tout point de la couronne D intérieur à ces cercles.

Appliquons maintenant à la fonction y le théorème du $ 23. Pour cela, traçons dans la couronne 7) une courbe fermée 1° entourant l'origine

qui sera assujettie aux deux conditions suivantes: elle ne traversera aucun

! Tous ces cercles c, sont contenus à l'intérieur d'une aire égale à 27 "ri (7 fini),

ee mie :e

et l'aire de chacun d’eux est supérieure à ——. Le nombre des cercles c est donc plus at

petit que 7''a&ri.

15 P. Boutroux.

cercle € et sa longueur sera proportionnelle à r,. Pour constituire la courbe Z', nous tracerons par exemple un cercle C ayant son centre à l'origine et son rayon égal à y,r, (1 <%, <#), et si ce cercle rencontre un cercle c; aux points @,b,, nous substituerons à l'arc 4,b, de C le plus petit are ab, de c,. Les cercles c« étant tous intérieurs les uns aux autres, la longueur du contour Z' ainsi formé sera inférieure à 7,7 °7,.

D'après la proposition du $ 23, on aura, en une infinité de points

du contour 1’

’ 2 A DR DEEE È . T Û n' désignant le nombre des pôles dont le module est inférieur à r,. Nous en concluons que l’on a

, 2 2 — NW LMT Ar@

ce qui est le résultat que j'avais en vue.

J'ai supposé, dans ce qui précède, que la couronne 1) contenait des points où [y|[ > a&. S'il n'en était pas ainsi, c’est que l’on aurait l'inévalité (25) dans toute la couronne, et l’on arriverait alors immédiatement au résultat précédent.

Je vais appliquer ce résultat aux fonctions méromorphes récemment découvertes par M. PaiNLEvÉ. La même méthode s'appliquerait évidemment à des équations différentielles plus compliquées que celle dont nous sommes partis. Elle consiste à distinguer parmi les grandes valeurs d'une intégrale celles qui s'expliquent par le voisinage d’un pôle et celles qui dépendent de la nature analytique de la fonction, caractérisée ici par son ordre.

Application aux fonctions entières de M. Painlevé.

25. M. PAINLEVÉ a déterminé récemment toutes les équations différentielles de la forme 11 de late ; HORS (y > Ù, &),

où f est rationnel en y’, algébrique en + et y, qui ont leurs points critiques fixes. Parmi ces équations il en est de particulièrement intéressantes: ce sont celles dont les intégrales sont des fonetions méromorphes nouvelles

qui ne sont réductibles à aucune transcendante connue, Une trausformation

rationnelle, en y et algébrique en x ramène ces équations à trois types canoniques très simples dont je considérai d’abord les deux premiers, ré-

servant le dernier pour la troisième partie. Ces deux premiers types sont

(26) NC AE

et ÿ"=2y +y+c.

M. PAINLEVÉ a démontré que les intégrales de ces équations sont des fonctions méromorphes: on les rattache très aisément à des fonctions entières vérifiant une équation différentielle du troisième ordre. On a en effet pour l'équation (25)

uw étant une fonction entière, et pour l'autre équation

12 172 9 U— uw Vo a

où # est encore une fonction entière. Ces résultats étant acquis, l'étude complète des transcendantes nouvelles y et # doit commencer par la détermination de leur mode de croissance. De cette croissance dépendent en effet et l'approximation avec laquelle # sera donnée par un développement en série limitée, et la répartition des zéros et le genre de cette fonction.

Or les propositions générales que j'ai obtenues plus haut sur la fonction g(2) vont faciliter l'étude de la croissance des fonctions y et #. Cette étude peut d'ailleurs être faite directement, comme l'a fait savoir M. Paix- LEVÉ dans deux notes insérées aux Comptes rendus de l’Académie des

Sciences.

26. Considérons d’abord les intégrales de l'équation (26) et posons

(27) y = —g'(2)+ ie)

g(2) étant la dérivée logarithmique d’un produit de facteurs primaires (2) et {(z) une fonction entière. Nous désignerons par #’ le nombre des pôles de g(z) dont le module est inférieur à r.

Je vais d'abord démontrer que l’on a à partir d’une certaine valeur de +

O(r) désignant une fonction croissante quelconque de x qui croîtra, par exemple, comme log,r (j entier), ou moins vite encore. L'équation (26) équivaut à la suivante

L LA 2 NAT (29) nt + 27 — f(2), (2) = | yde.

Considérons z à l'intérieur de la couronne D comprise entre les cercles de rayons wr, et r, (9 > 1, par exemple 7 — 2) et désignons par y un nombre qui sera fixe dans cette couronne, mais qui deviendra infiniment

erand en même temps que 7,. Soit d'autre part e un nombre donné, ar-

. . . . y» « I bitrairement petit, inférieur par exemple à ——:

Ni l'on a (30) DETTE E (31) [f(a)| < su°ri l'équation (29) se présente sous la forme y”

A CAT — il N N € (32) . Ho ave |0| < D'ailleurs, si en un point z, on a les inégalités

/ Se È (31°) HE et (33) [ul < sur (E positif) l'inégalité (31) sera satisfaite sur tout chemin continu issu de 4, et de

ongueur inférieur à >" le long duquel on à l'inégalité (33). Appliquons alors à y les résultats du $ 24, en y faisant

Nous appellerons « et 4 deux nombres compris entre 1 et eu”, tels l eu” ER que les rapports - et TT) de même que 4, croissent indéfiniment avec r.. s 1 Cela posé, admettons pour un instant qu'il existe dans la couronne D un point 4, où l’on ait à la fois

avr, <lvl< avr et [f(2)| < Hipri,

k étant un nombre positif fini, inférieur par exemple à l'expression #

(qui augmente indéfiniment avec 7).

Lorsqu'on s'éloigne de z,, il suffit, pour que l'équation (29) conserve la forme (32) que les inégalités (30) et (31), par suite que les inégalités (30) et (33) restent satisfaites. Nous nous trouvons donc bien dans les conditions prévues au $ 24, et nous pouvons entourer z, d’une cercle €, (dans lequel (30) et (33) sont partout vérifiées, sauf à l’intérieur d’un petit cercle 7 que l'on peut toujours contourner), qui a son rayon pro-

portionnel à (au) *7, *, et sur le contour duquel on aura

(34) [ul < au Vr..

En intéorant y à partir de z, on voit que l’on aura sur le même = u 0?

contour

ko | Go