HONTE

car on peut joindre z, à un point quelconque de €, par un chemin de longueur inférieur à 7.

Comme au $ 24, on pourra entourer €, d’un cercle a, concentrique

de rayon # fois plus erand (# croissant indéfiniment avec r,) sur le con-

tour duquel on aura les mêmes inégalités.

Supposons construit le cercle €, et qu'il existe dans 1), en dehors de €, un point où l’on ait les mêmes imégalités qu'en z, (# pouvant avoir

une valeur plus grande qu'en z,, mais toujours finie et inférieure, par

7e à À me À exemple, à > ): nous entourons ce point d'un cercle C, extérieur à €, et

de même grandeur sur le contour duquel on aura encore l'inégalité (34),

et ainsi de suite. Nous avons vu au $ 24 que le nombre des cercles €

tous extérieurs les uns aux autres que l’on peut ainsi construire est né-

82 P. Boutroux.

“cessairement fini pour une valeur donnée de r, (bien entendu, ce nombre augmentera indéfiniment avec «,). Imaginons alors que ces cercles soient tous construits: je dis que l'inégalité (34) est satisfaite dans toute la portion de la couronne D extérieure aux cercles c.

; PTE

Supposons en effet qu'elle ne le soit pas en un point z,; joignons 4, au contour de €, par un chemin proportionnel ? à »,, ertérieur à tous les cercles « et sur lequel y soit continu. Il existe nécessairement sur ce chemin des points où [y] est compris entre au ÿr, et lpyr,. Soit 2, le premier point rencontré (à partir du concour de c,) où il en soit ainsi, [y] ne cessant pas d'être inférieur à lwVr, entre le contour de €, et 4, on a

nécessairement en ce point ; : L ee pen SDS O7 [f(2)| < klpr? (k, positif fini, inférieur à ET

Or, par hypothèse, ces circonstances ne peuvent pas se présenter si z, est extérieur à tous les cercles 6. Nous en conclurons que l’inévalité

(34) est nécessairement vérifiée au point 2, extérieur à ces cercles. Nous

1) pouvons, par suite, appliquer à y les résultats du $ 24, et nous constatons

que l’on a

mw|a

nn < haur (4 positif fini)

c’est à dire l'inégalité (28), où l'on fait

0 — hay.

Pour établir ce résultat, j'ai admis qu'il existait, dans la couronne 1),

au moins un point 4, où les inégalités

aa Sul < nv et |f(2)| < Aipri, (ke) S12

étaient satisfaites en même temps. Je vais montrer qu'à eriste toujours un tel point z,, à moins que l'on n'ait dans toute la couronne D

[y | « ap Vr.-

1 . . . . s Il est toujours possible de construire un tel chemin contournant un nombre

quelconque de cercles *; voir fin du $S 24 et note de la page 84.

H me suffira, pour cela, de reprendre le raisonnement précédent, en l'appliquant cette fois à tout le cercle © de rayon yÿr,, qui a son centre à l'origine.

Le cercle C' peut être décomposé en une série de couronnes D!, D,,.. concentriques à 2). Ni nous excluons de (un cercle fini entourant l’origine, les couronnes 1 seront limitées par les cercles de rayons »,,75,..., 7, r; ayant une valeur finie, et les nombres #,,#7;,... étant déterminés par les égalités

Pr =YTr;;, Vs = Yr),

(y à la valeur fixe supérieure à 1, définie plus haut). Soit, dans la couronne 1}, un point où l'on ait

Kw] ce

apr <Uyl< havre, Fa) < Mar

{ —|2]; « et y ayant les valeurs définies plus haut par rapport à 7).

On aura, à fortiori, en ce point

(47) Vr < [y | <e UT ri; | (2) | = kl! ur!?

en posant

PRES TA On pourra donc entourer z d'un cercle c’ de rayon proportionnel à 1 1

(au) *r; *, sur le contour duquel on aura

ul < au Vri et, a fortiori | | < ap ÿr.

En procédant alors dans chacune des couronnes D comme nous l'avons fait dans la couronne ), nous pouvons construire dans © des cercles € (en nombre fini pour une valeur donnée de r,), extérieurs les

uns aux autres, et tels que les inégalités

au ÿr <|y|< Lpvr, Le) < ki, pr?

à ces cercles,