P. Boutroux

Cela posé, les nombres & et y (qui croissent indéfiniment avec 7.) peuvent toujours être pris assez grands pour que l’on ait en un point fixe quelconque Z,

ul < au 12, |, [f2)| < au Z, F

: Met Fe ME Eloignons nous alors de l’origine, et considérons un chemin Z%2

proportionnel à r(—{|z2|) et, ne traversant aucun des cercles «’. Le raisonnement déjà employé plus haut nous montre que l'on « nécessaire-

ment en 2

(34) [ul < avr.

Supposons en effet qu'il n'en soit pas ainsi nous appellerons Z le premier point du chemin considéré où l'inégalité (34) cesse d’être vérifiée; on a au point Z [91 au vr, et par intégration de Z, à Z

[el < kaur?, (k, positif fini)

par suite, a fortiori, si » est assez grand

A2) tunes

puisque le rapport a St supposé croître indéfiniment avec r. Or par hy-

pothèse ces circonstances ne peuvent pas se présenter si 2 est extérieur aux cercles €. Nous en concluons que l'inégalité (34) est satisfaite au point 2.

Ce résultat, appliqué bien à la couronne 7) nous conduit à la conclusion suivante: où l'inégalité (34) est satisfaite dans toute la couronne: ou dl existe dans D des cercles c' et, par suite, des points 2, répondant aux conditions énoncées.

C’est bien là ce que j'avais annoncé et l'inégalité (28) est maintenant complètement établie.

Pour construire ce chemin, on peut procéder comme à la fin du $ 24. On

mène la droite 7,2, et chaque fois que cette droite coupe un cercle «’ aux points @;b;, on remplace la corde par la plus petit are a;,b;,

De l'inégalité (28) nous déduisons aisément que /(2) se réduit à une constante. Tout d'abord la fonction entière {(2) ne peut être qu'un polynôme. En effet, s'il n’en était pas ainsi, on aurait, en certains points du

contour 2° défini au $ 24, [{(2)[ > 7%, (m pouvant dépasser tout nombre donné), en même temps que l'inégalité (34), ce qui entraïnerait nécessairement MOIS

où »' peut dépasser (avec >.) tout nombre assigné d'avance. Appliquons maintenant à 42) le théorème du $ 19 en donnant au su nombre Æ du $ 16 la valeur r7* (q positif) Les côtés des petits carrés y—92+1 , . " . 19 < : 2 »

b définis au $ 16 seront inférieurs à ———=, et il en résulte que l’on peut 32n faire jouer aux cercles c le rôle des petites aires dont nous avions au $ 16 entouré les pôles de la fonction g'(2): en effet, dans l’un quelconque de ces cercles on ne peut rencontrer des pôles qu'à l’intérieur du cercle 7 correspondant; les carrés D ombrés autour de ces pôles sont donc tous

x ï : kn'r=2ti contenus dans un cercle concentrique à 7 et de rayon inférieur à

(% positif fini), cercle qui est certainement intérieur au cercle € si q est assez grand.

On déduit de là ($ 19), en tenant compte de la valeur de 77, que

l'on à l'inégalité

en tout point de la couronne 1) extérieur aux cercles 6. La fonction /(2) est donc bien un polynôme.

Cela posé, le théorème du $ 18 nous montre plus précisément que,

pour des valeurs de 7, indéfiniment croissantes, on aura en une infinité de

y points de la couronne D extérieurs aux cercles € l'inégalité

a n (log n)re » " 9 (2)| = Ce. — ou | 9 (2) < ÿr, (logr,)'+* u (x positif arbitrairement petit avec =)

80 P. Boutroux.

On voit que cette égalité n'est compatible avec l'inégalité (34) que si /(2) est une constante.

27. l(z) se réduisant à une constante, l'inégalité (28) exprime, par

PTE . . = se LS â à 5 définition, que l’ordre de la fonction entière # est au plus égal à Il

= Lé Poe PERS 4 5 est aisé de vérifier que cet ordre est précisément , :

Il résulte du $ 18 que l'on à dans une infinité de régions du plan de

la variable 2 n” log n' |

MOIS ss

h étant un nombre positif fini. Le module [y —6y*| sera donc inférieur (puisque /(2) est une constante) à l'expression

n'° (log n’)” 2 te] Ê h INTER ,

en d’autres termes, l’on aura

n'? (log n')

M RS RE ET. (log DE (Æ positif fini).

Nous pouvons affirmer de plus, qu'à partir d'une certaine valeur de r cette inégalité est satisfaite quel que soit >. En effet il résulte des inégalités obtenues au $ 20 que s’il n’en était pas ainsi, on aurait dans une infinité de régions du plan

[g'(2)| < er?°, |g""(e)| < er e étant arbitrairement petit, inégalités incompatibles avec l'égalité (26).