On a donc, à partir d’une certaine valeur de

kr”

Ho er nee)

où # est un nombre fini et @(r) une fonction croissant aussi lentement que l’on veut,

Cette double inégalité montre que le module du #*"° pôle de y ou

du n° zéro de la fonction entière #« croît approximativement comme #°.

L'ordre de la fonction # est =, son genre est 2. De plus le module maxi-

mum (pour [2] =) Mr) de « satisfait, à partir d’une certaine valeur de r à la double inégalité

PL (log r)-1 —. Mr) < e"” OR

La fonction entière # est done, si l’on adopte la terminologie de M. BOREr, à croissance régulière.

29. L'étude du second type d'équations à intégrales méromorphes sionalé par M. PAINLEVÉ conduira à des résultats analogues. Considérons l'équation

(36) y = ay + ep c.

L'intégrale oénérale de cette équation satisfait, avons-nous dit, à l'égalité 9 W°—uu" Y = ——— y ne

où « est une fonction entière. On a donc

PE et era |A)

g(z) étant la dérivée logarithmique d'un produit de facteurs primaires G(2) et /(z) une fonction entière. #' désignant toujours le nombre des pôles de module inférieur à 7, je vais d’abord démontrer que l’on a à partir d’une certaine valeur de 7

O(r) désignant une fonction croissante quelconque de 7.

L'équation (36) équivaut à la suivante

(38) = y" + 2cy + 2y — fe), f\