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Si 7. croissait plus vite qu'une fonction formée d’un nombre quelconque d'exponentielles supérieures, 1l en serait de même de l'inverse de €..

Nous voyons qu'il était indispensable de préciser ainsi la proposition établie dans la première partie. En effet, si F(2) est de genre infini, le rapport de #, au nombre #' qui figurait dans la limite assignée aux fonctions de genre fini, peut dépasser tout nombre donné d'avance.

3. Abordons maintenant la question inverse et cherchons à déterminer une limite supérieure du module maximum (pour [2] = 7) d'un produit de facteurs primaires de genre infini. Soit

, 2 PEN G@=IIC soute)

un tel produit, H(r) son module maximum. L'étude de ce produit présente une difficulté. Si l’on se donne la suite de zéros 4;, on peut former d'une infinité de manières le produit convergent 4(z2), puisque les 0, sont des entiers quelconques, choisis seulement de telle facon que la série

soit absolument convergente. Il est bien certain alors que la croissance de ((2) pourra dépendre essentiellement du choix des nombres p, au lieu d'être déterminée par la densité des zéros 4, eomme il arrivait pour les produits de genre fini. Mais est-il possible de choisir les nombres 9, de manière à obtenir une limite supérieure se rapprochant de la limite inférieure assignée à M{r) au paragraphe précédent?

Dans son mémoire sur les zéros des fonctions entières, M. BorEz a fait remarquer que la valeur ? de p; indiquée par WEïrERSrRASS était beaucoup trop élevée. Se proposant d'étudier les fonctions à croissance très rapide, fonctions telles que l’on ait pour une infinité de valeurs de À indéfiniment croissantes l'inégalité

nSl0e 1

quelque grand que Soit le nombre k, M. BoRELz pose Se pi = (log à)

puis déterminant le nombre # par l'égalité

j M Mon)

où 4 est un nombre plus petit que 1, il montre que le module maximum Mr) est celui d’une fonction d'ordre p,. En d’autres termes, l’on à

(s) Mr) < er” Le résultat subsisterait d’ailleurs si l'on remplaçait 2 par un autre nombre plus grand que 1.

Cette limite diffère de celle que nous avions obtenue pour les fonctions de genre fini. Il importe donc de se demander s'il n’est pas possible de l'en rapprocher. Mais pour parvenir à des inégalités un peu précises, jéviterai de me placer dans le cas le plus général. J’insisterai au contraire sur les types de fonctions qui nous apparaissent comme les plus simples après les fonctions de genre fini; leur étude semble être en effet le point de départ naturel d'une théorie complète des fonctions entières de genre infini.

4. Les résultats que je viens de rappeler suggèrent une première

, nous donnons encore à 9, une valeur

remarque. En faisant p, = (log i) **

96 P. Boutroux.

beaucoup plus grande qu’il n'est nécessaire pour assurer la convergence de

La EN ER ST RQ :

la série Ÿ (a) .. I suffirait évidemment de prendre E— FAN cu jee Û M d .

Pi log r;

Mais il ne faudrait pas conclure de là que le module maximum W(r) croîtra moins vite si l’on donne à »; cette valeur plutôt qu'une valeur plus élevée. C'est, chose curieuse, précisément le contraire qui arrivera. Mais, ici, une distinction s'impose entre les diverses fonctions de genre infini.

Considérons tout d’abord la classe des fonctions entières définies par la propriété suivante: il existe un nombre positif o tel que l'on ait à partir d’une certaine valeur de à

(6) = log)"

Cette classe de fonctions est celle qui se rapproche le plus de la classe des fonctions de genre fini, et elle mérite une étude spéciale; nous la rencontrerons tout à l'heure dans une application. J'appellerai fonctions de type exponentiel simple les fonctions pour lesquelles l'inégalité (6) est satisfaite, et je dirai que & est l'ordre exponentiel de la fonction, en supposant que le nombre © ait été pris aussi petit que possible.

5. Cela posé, désignons par N le nombre des zéros de (2) dont le module est inférieur à #(1 + k), (4 positif fini).

P,, représentant le facteur primaire relatif au zére «; on sait, d’après WeïersrrAss, que l’on a, pour 5 > N

bad a (a (b positif fini).

Lorsque N, on-a,. si, >

blog pi

p AE doper / LAON AN | | a: ES (bo positif fini),

et, sir<r

pi

v( ) 10g pi LP eue

Il résulte de là que

pi r DOTAEN ee) +0 D'logpi re, 1 ) NES

(7) MECS € Si donc l’on a l'inégalité (6) en même temps que

eve

p; < (log

logo; sera inférieure à o(1 + a)logr;, et l’on aura évidemment, à partir d'une certaine valeur de >, l'inégalité

h [= 5] log »

M(r) <e ë (k positif fini).

6. Ni (2) est un produit de type exponentiel simple et d'ordre exponentiel o, je prendrai pour »; l’entier le plus voisin de ologi. Nous allons constater que ce choix est particulièrement favorable. Supposons que 7; satisfasse à partir d'une certaine valeur m de à à l'inégalité

r,> (log i)°

À et o étant des nombres positifs.