AUX

Déterminons alors les nombres », et n, par les égalités

loue #1

QE = og == ue v a’

(GE lor n = 8; 02 2 6

a et a étant des nombres positifs d’ailleurs arbitrairement petits. Lorsque 2>n,, on a

A ER CR de

= à (el; log, ? 1)< nt

8 P. Boutroux.

D'ou ay(i) < — [y(i) NE ix'(i)]

on 1—a I n J'xtx)dr < =ny(n,) = =

D'autre part, si à < n,, on a à partir d’une certaine valeur # de ?

AR I —a g . F De . Le 7) Û

Les valeurs de à comprises entre #, et 7, sont en nombre inférieur à 9, et pour ces valeurs de ?, l’on a

Nous aurons done finalement, en supposant 4 et a’ du même ordre de orandeur

où X est un nombre positif fini. n, et nr, auront une sionification très

simple si »; croit précisément comme (log i) On a dans ce cas

(74 log r — logr, = -

a logr—logr, =,

n, représente donc le nombre des zéros 4; dont le module est inférieur à

e °r, n, le nombre des zéros de module inférieur à e°r, à et a’ étant arbitrairement petits.

Dans le cas général, on aura

Or il est manifeste que, quelque petit que soit s, on peut toujours déterminer deux nombres 4 et a’, égaux ou du même ordre de grandeur, tels que l’on ait

, ; À œ 6% + ae" — (°) loga<1i+es

à partir d'une certaine valeur de >. On peut dès lors énoncer la proposition suivante: |

Quelque petit que soit le nombre €, on a, à partir d'une certaine valeur de r

Ca

(8) Mr) < ea)

7. En suivant la méthode employée dans la première partie, on peut généraliser encore cette proposition. Soit d(i) une fonction holomorphe,

réelle et positive telle que le rapport RL soit croissant à partir d’une (log i”

certaine valeur de à et telle que l'on ait

On posera . 7 Jologt KA) re)

et l’on déterminera les nombres x, et n, par les égalités

1 0 log-— log S(n,) = - ,

æ log-— log d(n,) = —*

1! Si l’on avait donné à po; une valeur moins élevée, par exemple la valeur

: ne 57. Ya\ Pi ; , qui suffit à assurer la convergence de la série > —) , la valeur de 2 ri,

log à

à partir de la quelle cette série eût décrir aussi vite que 2i—1—* eût été très supérieure

log r;

à n,, et la limite supérieure de cette série se fût trouvée augmentée.

100 P. Boutroux.

On obtiendra alors, comme au paragraphe précédent, les inégalités

k 1+e€ T à Lr2x(m)]

> (2) < im, x(n), Mr) <e

8. Nous allons maintenant compléter la proposition du $ 6, en démontrant un théorème analogue à celui du $ 20 de la première partie.

Considérons le produit (2) du $ 5, pour lequel on a

r,> A(log i)°.

Je dis que si l’on a

LA

on à, à partir d'une certaine valeur de r

(10) dé + dAllog ÿ°

À I e tendant vers zéro avec -.

fie

Posons en effet

et supposons que l’on ait, pour des valeurs #, de à indéfiniment croissantes Tr, = KEÛN,), HENA

Nous poserons = din) AT dia) ON

et gin,) = Kg(n,).

Si l'on se reporte aux calculs du $ 4, on voit, qu'il suffit, pour que r et n, prennent ces valeurs, que l’on ait fait

a—={(1 —/fjologK, a — Bo log K.

D'ulleurs

.(1—P)c Bo n=n* nie

On a, par suite, les inégalités suivantes:

Us fr\e mi 7 pa+a)e ES D —) <—— <ÉnTX, (y fini) — \ri 7 7 Ne NT = Da er fini 2 (2) Se a? a ) (on ) Fe

2 F\ ri No nos(2) He CRONRLETRE TT

. LE puisque olog — — a’.

ñj

Or on vérifie sans peine que, quelque petits que soient a et a’, on

) peut trouver un nombre positif & tel que les seconds membres de ces inégalités soient tous trois inférieurs à #'°, à partir d’une certaine valeur de »#; l'inégalité (7) du $ 5 nous montre alors que l'inégalité (9) ne peut plus être satisfaite. Ainsi l'hypothèse faite sur 7, conduit bien à une contradiction, ce qu'il fallait démontrer.

9. Les fonctions de type exponentiel simple ne constituent encore qu'une classe très particulière parmi les fonctions de genre infini. Mais la méthode précédente permettra d'étudier tout aussi aisément des fonctions croissant de plus en plus rapidement.

Sans insister sur les cas intermédiaires supposons qu'il existe un nombre fini & tel que l’on ait à partir d’une certaine valeur de à

r, > (log, et prenons pour p; l'entier le plus voisin de log ilog, . Posant, cette fois

: : L 5 ologilogsi (ice P— = log; i)

Ar nous aurons encore piql+e [EG)"] er HER SRE (e tendant vers zéro avec "A

et

102 P. Boutroux.

Nous déterminerons les nombres x, et n, par les égalités

(1 + log, r,)(1og does log, n,) VE

I 7 (1 + log, n,)(1og r—=log, r) =.

a et a’ étant deux nombres arbitrairement petits, du même ordre de grandeur.

On a lorsque à > n,

y'(à I + log, » ; I 1 + d ie = CAE 7) à 0 q ps I frtdi < mi Nix (ne).

No De même Lo I < Ja di <= xQu).

mm Nous aurons donc finalement Y ()'<2mytn) = -n,y(n 7. mur AUS k étant un nombre positif fini. Or on a A Los n°) 0e een ie rertt 09279) Free OS) n, = € 4 HEC

On déduit aisément de là que le module maximum Æ/(r) satisfait à l'inégalité ,U+ar” M {NPEPE" £ tendant vers zéro avec Ainsi la méthode de sommation qui vient d’être exposée à une portée

220 3 ë 71e o y \ Pi s générale et elle permet d'étudier la série (2) , par suite le module Ti

Mr), quelque lentement que ceroisse le module 7, du zéro de rang ?.

La dérivée logarithmique d’une fonction de genre infini.

10. La dérivée logarithmique du produit infini Œ(2) défini plus haut

CHE I OR re

Proposons-nous d'étudier le module maximum de ÿ(z) dans des régions

a pour expression

convenablement choisies du plan de la variable 2.

Si l'on désigne par # le nombre des points 4; dont le module est inférieur à », on peut affirmer que l’on a sur une infinité d’ares du cercle C' de rayon r

fl

sa1>T, (r1>>,

La démonstration qui nous avait permis d'établir ces inégalités dans le cas des fonctions de genre fini subsiste ici, en effet sans modification. Les conséquences que nous avions tirées de ces inégalités (au $ 24) resteront vraies également.

11. Cherchons maintenant à limiter la croissance de g(z), en supposant que (2) soit de type exponentiel simple. Considérons dans ce but une aire proportionnelle à 7°, par exemple * un carré À de côté Hr. À l'intérieur de ce carré se trouvent une infinité de régions (Deuxième Partie

k + Hr $ 17) par exemple des cercles de rayon proportionnel à -—, dans lesquels on a

Vn (A positif fini),

> (ei 2 = di

la somme Z étant étendue aux divers pôles contenus dans l'aire À.

hn'

Hr°

D'ailleurs la somme des régions en question est avec l’aire totale À dans un rapport fini.

Dans les mêmes conditions, la somme a |

ù I [ea la |

1 La forme de l’aire À n'importe pas ici Remarquons qu’elle peut être contenue

tout entière à l'intérieur d’un angle fini © ayant pour sommet l'origine.

104 P. Boutroux.

. hn'log n’

étendue aux pôles contenus dans À est inférieur à DCE la somme NE I g \Pi = |2— fic rue hn'Vn PACE :

est infèrieure à ins et ainsi de suite.

Ces divers résultats, obtenus dans la seconde partie, s'appliquent en effet à la dérivée logarithmique d’une fonction entière quelconque, de genre fini ou infini.

Soit maintenant 4, l’un quelconque des pôles de g(+) situés en dehors du carré À: on aura

[—al>#z (E positif fini.

Le module de la somme ZX relative à ces divers pôles est donc, pour la dérivée logarithmique, inférieur à

PCI

Cette série est celle dont nous avons évalué la somme aux paraeraphes gTap précédents. Sa limite supérieure sera

HU) (h positif fini

si l’on désigne par 6“ la limite assignée au module maximum ÆM(r) de Si @(r) croit plus vite qu’une puissance quelconque de > on peut

: p , Fr ; nur prendre comme aire À un carré de côté — (m étant arbitrairement grand,

Vm lorsque 7 est lui-même assez grand). Tous les points situés dans ce carré sont à une distance de l'origine compris entre » et »(1 +e), et l’on a

nm

n'ite

£s et €’ tendant vers zéro avec

Sur quelques propriétés des fonctions entières. 105 Supposons alors, en particulier, que ((2) soit de type exponentiel simple et que l’on ait à partir d’une certaine valeur de à

r, > Alogi)” (À et & positifs finis);

nous pouvons énoncer la proposition suivante:

Quelque petit que soit &, on a, dans une infinité de régions s'éloignant indéfiniment de l'origine o a+a(©) FACE CMS on constaterait de même que lon a, dans les mêmes régions

ee

4 étant un nombre positif proportionnel à r" (m fini). Nous ajouterons qu'un angle quelconque æ dont le sinus est compa-

rable à —, en d’autres termes un angle arbitrairement petit contient une

infinité de régions jouissant des propriétés énoncées.

On peut compléter cette proposition comme nous l'avons fait au

8 pour celle du $ 6.

UN

Désignons par m(r) le module maximum de ÿ(z) dans les régions définies plus haut. Z’inégalité

Hire Ki)

entraîne, à partir d'une certaine valeur de 1

quelque petit que soit €.

En d'autres termes, nous pouvons affirmer que si cette dernière 1négalité cessait d'être vérifié pour des valeurs indéfiniment croissantes de 7,

on aurait dans des régions indéfiniment éloignées

m(r) < or #10).

On peut aussi agrandir les régions où les résultats précédents sont valables en multipliant les limites supérieures assignées à [g(2)|,[9(2)|, ... par une fonction croissante de #, par exemple, par logn' ou loglog#’. Les nouvelles régions seraient alors telles que le rapport de leur somme à l’aire totale À tende vers l’unité quand 7 augmente indéfiniment.

Ajoutons enfin que l’on obtiendrait les mêmes limites supérieures si l’on remplaçait la fonction g(z) et ses dérivées par une fonction méromorphe d’un type plus général:

Ê b; g \ Pi RE cu ee les nombres bd, étant tous finis ainsi que l’entier k, et H(z) étant une fonction entière dont le module maximum est supposé ne pas croître plus vite que le module de la somme ZX.

13. Ces divers propositions donneront lieu aux mêmes applications que celles de la seconde partie. Ils vont nous servir à étudier le troisième type d'équations différentielles à intégrales méromorphes qu'a signalé M. PaincevÉ. Ce type est le suivant

12 NN ESS F8 2 Be. © (1) JU (ant + 8) + (ru +2) les constantes a, ÿ, a, 0 ayant les valeurs ADR dE 1 a, ff quelconques, OU ÿ——1, 0 =0) = 1 a quelconques, OÙ 7 — 0, 0 = 0, Qu =— f, B= 1.

M. PAINLEvé a démontré que les intégrales de l'équation (11) sont des fonctions méromorphes dans tout le plan. La transcendante y s'ex-

à : (7.0 : + , prime par le quotient : de deux fonctions entières + et « vérifiant les

équations simultanées u uw ve? ( rev ) = — = —— | —- + a |, uw

v" v'°? ue? {de De (] v° V v p Re

14. Pour étudier les intégrales de l'équation (11) je ferai le changement de variable

L'équation (11) devient

CRE) = re —— + e’(ae CE? + B) + ARS AE =) Ë = ou

(13) Ge EH ag + et + Pre + dt.

L'avantage de cette nouvelle équation est qu'elle met en évidence la façon dont se comporte la fonction méromorphe € au voisinage de l’un de ses pôles.

SI 7y—=0O, a — —1, les termes prépondérants au voisinage d’un pôle quelconque situé à distance finie sont

CE

et il est aisé alors de vérifier que tous les pôles sont du second ordre et tous les résidus égaux à 2.

Si au contraire y ——1, 6€” devient infini comme &’?— €", et il en résulte que les pôles sont du premier ordre, le résidu correspondant étant CHAT IENTe

D'ailleurs, si nous désignons par f(2) la dérivée logarithmique de la fonction entière w, la première équation (12) deviendra

(12°) Hd) nest:

Nous sommes ainsi amenés à distinguer deux cas suivant la valeur

de la constante 7.

108 P. Boutroux.

Considérons d’abord le cas où 7 —o. On a alors, avons-nous dit 0—0, a=—1,Bf— 1 et l'équation (13) devient

(14) Se rie 6= fe).

Proposons-nous d'étudier la croissance des intégrales méromorphes de cette

équation.