AE (18) : ROME FE SRE
Suivons en effet le rayon Oa, à partir d'un point fixe 4. Je dis que l'on ne peut avoir simultanément en aucun point de 4,4;:
(19) Leheret: [AS) |
On peut toujours prendre y assez grand pour que cette condition soit satisfaite en 2. Supposons alors qu'elle cesse de l’être en un point 2,: je vais montrer que l'on aura en ce point
20 irts)t <| J'eael <enr gl!
L'égalité (17), où l'on fait [£[ —|£|— e"*, donnera par suite pour || une s SA se fe 3 rt) , Ex limite supérieure proportionnelle à e@ , et l’on en conclura que l'iné-
galité (18) est vérifiée au point z,, ce qui nous conduit à une contradiction.
Pour calculer une limite supérieure de |f(2)[ le long de #2, observons d’abord que dans les intervalles partiels où [£[ < e’*#, la variation de |f(2)| est plus petite que celle de e”*#*. Soit maintenant z un point où [£[—=e’*". Puisque, d’après nos hypothèses, les relations (19) ne sont jamais satisfaites pour 7, <r7<7r,, l'inégalité (18) sera nécessairement vérifiée au voisinage de z', tant que [£[>e". L'équation (15) donnera alors, pour [£| > €”
F1 Le = |<(2+ ae (a>o, arbitrairement petit avec =). Donc ee [D I I ——("+p) ere ami tam ot AN 6e - (2 + ae (r—r)
On en conelut que l'inégalité [£[> e” est satisfaite, autour de 7’, dans un
er"
intervalle r,r, supérieur à he * , (X positif fini). Or, dans cet inter-
110 P. Boutroux.
valle, la variation de |/(2)| est plus petite que celles de e”, la variation
de est elle-même inférieure,” (d’après (15)) à
ji (2 + e)e” E 2(e" e”) Le et, par suite,” (si l’on tient compte de la valeur de »,—r,) à h,e?[e’}*,
(k, inférieur à un nombre fixe). Nous obtenons donc finalement, (d’après
H |r4 ee ee r+£ 15 la limite supérieure (4, + LL | .(COù
(16)), pour la variation | I(z)
voit ainsi que l’on peut toujours prendre y assez grand pour que l’on ait en Z, l'inégalité (20) et, par suite, l’inécalité (18).
Ce point établi, appelons z; le point de Oa, le plus voisin du pôle a, où l’on ait [é|—e’. Entre 2! et a, | I(2)| croît moins vite que e’: (7) 2 2) ) l'inégalité (18) ne peut donc cesser d’être vérifiée, ce qu'il fallait démontrer.
16. Partons maintenant du pôle «,, et éloignons-nous en sur un chemin de longueur finie: tant que z sera assez près de a; pour que l’on ait
(21) SCANNER
on aura certainement l'égalité (18), et l'équation (15) se présentera sous
la forme Lo
et 100
< € (e comparable à e“"),
. D'où, par intégration
= 211 +0 1]2— «il,
= *i- +4fina) El ue Faisons alors
#12 S ! 4 || <@+oe +4] S is Z3 I a e tendant vers zéro avec -. La variation de — | est inférieur à la racine carré du 7 JAGNI
second membre.
7 ft pl
2 e? “2 h,e"e 2 < h'e? er, Le r) = h'e? er (erirs ere 1).
, é : Ô ‘ ; [T| étant compris entre deux nombres finis, et - augmentant indéfiniment Hs
avec 7. n portant cette valeur dans l'égalité (22), nous constatons d'abord que l’on a I e’1+0 .
cette inégalité entraînera, si ?, est assez grand, l'inégalité (21), ce qui montre que les calculs effectués sont bien legitimes entre 4; et 2.
D'autre part, nous constatons que, lorsque | 7] augmente à partir de 0, [| va en diminuant: lorsque r dépassera un certain nombre fini k, on
aura en 2 (23) leon (k, positif fini).
Nous en concluons que l'on peut entourer chaque pôle a; d'un cercle
Ve” +0
contour duquel on aura l'inégalité (23).
c de rayon proportionnel à ne contenant aucun autre pôle, et sur le
I serait d’ailleurs possible d’entourer a; d’un rayon y fois plus grand (y arbitrairement grand) jouissant de la même propriété, et l’on en conclut comme dans la seconde partie que tous les cercles c; sont extérieurs les uns aux autres. Des lors le cercle (© de rayon r,, ayant son centre à l’origine, ne peut contenir plus de rfe"*? cercles c, et par conséquent plus de rie"t® pôles.
Il en résulte que l’on aura, à partir d'une certaine valeur de r
“E r+0(r)+21log 7 (24) nue
O(r) étant une fonction croissante de 7, croissant aussi lentement que l'on veut.
D'ailleurs, puisque chacun des cercles c, ne contient qu'un pôle 4;, on voit que ces cercles constituent précisément les petites aires proportion-
< T + A nelles à —* que nous devrions d’après le $ 9 exclure du cerele C, pour y
pouvoir limiter le module de g(z) et de ses dérivées successives. Construisons alors la couronne À) limitée par le cercle C' et par un cercle concentrique de ravon 77, (nous ferons 7 < 7 < 1, 7 étant toujours inférieur
3 bn 2 P. Boutroux.
era Nous pouvons affirmer que lon a, dans toutes les poïtions de la e+I É couronne D extérieure aux cercles c; SG+E x ar fs 2 ER 111 A(1+e (25) |g'(2)| < eat D, |g"(2)| ce | 9" (2)| A (4er
z I e, tendant vers zéro avec =
17. Je dis maintenant que l’on a, à partir d’une certaine valeur de r (26) »' < (1 + e)r..
En effet s'il n'en était pas ainsi, nous constaterions (en raisonnant comme au $ 24 de la seconde partie), que l’on peut tracer dans la couronne À) une courbe fermée Z' entourant l’origine et ne rencontrant aucun cercle c; telle que l’on ait en une infinité de ses points
(27) H(z} S he’ = etre.
On aura d’ailleurs
LA (2)| < |(e)
Sfr | H"(2)| — Aa
2 I N DER SE Aie a tendant vers zéro avec =. Dès lors, si l'inégalité (27) était satisfaite en
même temps que les inégalités (25), le terme 6° ne pourrait être détruit par aucun autre dans l'équation (14), quand 7, dépasserait un certain nombre. On a donc bien l'inégalité (26) à partir d’une certaine valeur de 7.
18. Cherchons maintenant des limites inférieures de »#’ et v’. Nous considérons dans ce but un angle © ayant pour sommet l’origine et con-
tenant l'axe réel, æ pouvant décroître avec - plus vite qu'une puissance
SI
I I ; quelconque ne de + Supposons que l’on ait pour des valeurs de > in-
définiment croissantes l'inégalité
(28) RESTE?) a > O.
On a, en particulier, les inégalités (25) dans certaines portions de la couronne . Nr ’ I D, limitée par les cercles de rayons r, et (1 — €), e tendant vers zéro avec —.
es en
PR Cr —
Nous pourrons alors appliquer le théorème du $ 12 dans les portions de l'angle & intérieures à des couronnes 1), s'éloignant indéfiniment de l’origine, et limitées respectivement par des cercles de rayon r,, r,(1 —e), (e tendant vers zéro comme «).
Dans l'une quelconque À, de ces portions d'angles, il existe des cercles
d de rayon supérieur à ro (à fonction décroissante quelconque de r,), ei
où l'on a!
(28) pe) < ent, |y"(e)| < ent,
a, Étant un nombre positif, par rapport auquel À devient infiniment petit lorsque 7, augmente indéfiniment.
Je dis que pour la valeur », de > considérée, le module maximum Mr) de la fonction H(z2) satisfait nécessairement à l'inégalité
(29) Mir) ser,
He ae :
<' devenant (avec -) infiniment petit par rapport à a. :
En effet, on peut choisir À de manière que les cercles d couvrent par exemple, plus de la moitié de la région À. Il existe alors (Seconde Partie, S 8) dans À,, des cercles d où l’on a
H"(:) Les H"(z) Les H(s) É H(2) À e, tendant vers zéro avec Dès lors, si | Â(2)| n'était pas, dans un tel
cercle d, supérieur à la limite (29), on y aurait évidemment
(29) LE | “ en) Ha CHERE
€€"" et C° se trouveraient être négligeable par rapport à 6e”, et l'équation (14) se présenterait sous la forme
Et + (1 +)" —0,
1 En se reportant au $ 8, on voit que si l'inégalité (28) est vérifiée pour r—=7,, les inégalités (28') seront satisfaites pour » = r, = *,(1 + a) ?, (a > 0, b > 0).
114 P. Boutroux.
|o| tendant vers zéro avec —. Or on constate aisément que l'on ne saurait avoir cette équation dans tout un cercle d; supposons en effet qu'elle soit satisfaite dans un tel cercle le long d'une droite 4,2 joignant
. 0 < Con) DD ; . .
deux points de distance égale à e ? , les inégalités (29°) étant satisfaites
en Z,; l'expression
VE) — VE) | ny tr+ HE :
serait proportionnelle à 6 ? , ce qui ne peut avoir lieu, puisque la première inégalité (29') est par hypothèse satisfaite en 2. L'hypothèse faite sur M(r) était donc inadmissible: ou n'est, pour supérieur à la limite (28), ou l’on a l'inégalité (29).
