PENE
19. Des divers résultats qui précédent, nous pouvons tirer les conséquences suivantes:
Considérons le module maximum w#(r) de la fonction méromorphe dans le champ défini au $ 10, (les pôles a; étant entourés de petites aires b, que l’on a exclues de ce champ): m(r) satisfera dans les régions restantes
à la double inégalité ete} < m(r) < entrer
Les modules maxima de f(2) et de log u — Jre)de satisferont dans les mêmes régions aux mêmes inégalités.
Considérons maintenant la fonction entière
Si on à l'inégalité (28) pour une valeur r, de r les inégalités (28) et (29) seront satisfaites pour 7 — 7, =7r,(1 + a) *, (b=0o). Il en résulte,
puisque À — K", que le module maximum? M,(r) de ÆX{z) est, lui-même,
supérieur, dans la couronne D, à 6", Désignons alors par A(r) la
plus grande valeur positive de la partie réelle de À pour 7 —7r, et soit
D’après les théorèmes de la seconde partie, on peut toujours tracer dans la couronne À), un cercle sur lequel on a
pp 4 I EU y tendant vers zéro avec —.
ue
n=N(i+a)" =r —p, (b'>0,p>0) Il résulte d'un théorème de M. BoreL ‘ que l'on a, (quel que soit 9), à partir d’une certaine valeur de 7,
S1 nous faisons, par exemple, 9 = — l e
3» (a arbitrairement grand, on
voit que l'on aura certainement à partir d’une certaine valeur de »,
na a(r- ee ) —1log——]1log?" 71 (0
8A(r,)>e > enû—9),
Cette inégalité, jointe au théorème du $ 2, nous montre que le module maximum de « satisfera, lorsque 7 sera assez grand
(1—e)r ,U+e)r ÉS < M(r) <e
quelque petit que soit €.
20. Il n'est pas nécessaire d'insister pour montrer que la méthode précédente s'applique, tout aussi aisément, au cas laissé de côté où la constante 7 de l'équation (13) est différente de zéro. On a alors, avons-nous dit l’une des deux équations
(31) EG" = CM + ag — Cf + pre” Let, (32) GONE Het LC o-buge
avec
(33) E—ai= f(e)
f(2) étant, en vertu de l'équation (12'), la dérivée logarithmique d'une fonction entière. Nous poserons comme plus haut
Fe) = 9(2) + H(e)
g(2) étant la dérivée logarithmique d’un produit de facteurs primaires.
1 Sur les zéros des fonctions entières, p. 365.
116 P. Boutroux.
