Toute intégrale de (31) satisfait aux deux équations
2 étant un nombre qui croît indéfiniment avec r,, je dis d’abord qu'en tout pôle a, ([a|— r;) contenu dans le cercle C de rayon r,, on a l'inégalité
: 22 42 dy CR
Pour le démontrer, on établira d'abord que l’on ne peut avoir si multanément en aucun point de Ua;
(36) |£?| Es ea, | Z(2) | > 26774
Supposons, en effet que cette condition, satisfaite en 4, cesse de l'être en
z,. On vérifiera alors, en raisonnant comme au $ 15, que l’on a en 2,
| f(e.) | — <| fee —arael< er.
D'ailleurs on aura, (en combinant (33) et (34))
I : (ag Ca ns 2 = 0, — + —fÿ- ——+of(z 2 €: (4° : 2 Ch 2€, + 2h(2) et l'on en conclura, (d’après (34)), que l'inégalité (35) est satisfaite au point 2, et, par suite, au pôle a;.
Si maintenant nous nous éloignons du pôle 4, on voit que tant que l’on aura
ia) > e?r+ (pe, nb}, l'équation (33) se présentera sous la forme gr?
S N I I — +1+0—=0 (fo tendant vers zero avec - et — ) S el Fa me
Sur quelques propriétés des fonctions entières, 11% pro |
ou encore sous la forme D dd ED 0, w = 67.
On en conclut (comme au $ 16) que à l'intérieur du cercle C on
—;Cn+0)
peut entourer les pôles 4, de cercles de rayon proportionnel à ; (> y), ne contenant chacun qu'un pôle, tous extérieurs les uns aux
autres, et sur le contour desquels on à l'inégalité
le l=:ke7i"e,
On constate alors, — en désignant par »’ le nombre des zéros de H(:) dont le module est inférieur à yr (<= æ), — que l’on a,'à partir d'une certaine valeur de r, les inégalités
y DER y < 2r(1 + &),
: I s tendant vers zéro avec +
22. Soit d'autre part M(r) le module maximum de (2) pour [z| = r. Si l'inégalité n' 2 e?'Aae) a>0o
se trouve vérifiée pour des valeurs r, de » indéfiniment croissantes, on aura dans certaines régions de la partie commune à la couronne 1), et à l'angle æ@ définis au $ 18
| g'(2) | < caen |g""(2)| en) (a, O).
On constate alors que dans la couronne 7), Mr) est supérieur à e : = tendant vers zéro avec —; car, s'il n’en était pas ainsi l'équation (31) né n) L
donnerait dans un cercle de rayon proportionnel à € égalité
w'? + (1 + djwe = 0, LE)
tendant vers zéro avec —, ce qui conduit à une contradiction ($ 18).
118 P. Boutroux.
Si l’on pose = Ge) een
le module maximum de Æ(z) satisfait dans la couronne 1), à la même inégalité que M(r), et l'on en conclut, en désignant par M(r) le module maximum de # que
rie) ,2Q+e)
, à e tendant vers zéro avec -.
23. Toute intégrale de l'équation (32) satisfait aux deux équations é | 16"? sc NES e2 (37) nn EC
il et : e?Z (33) a = far cae+ [ae
# étant un nombre qui croit indéfiniment avec »,, on constate que
l’on à en tout point pôle a; contenu dans le cercle C de rayon 7,, l'inégalité OA Lrty — d2| < 26° ralch E ) ee
On voit alors qu'au voisinage d’un pôle a;, tant que l'on a
St PAR TRENENtT ET l'équation (37) se présente sous la forme (ou S 2? à a (LEP ON 10 Ô| LE,
: I e tendant vers zéro avec -.
GA
Conservant toutes les notations du paragraphe précédent, nous déduirons de là les inégalités
—140(r)+21ogr 4 ’ 6 ' :
n <e Due enr S):
. I : ve e tendant vers zéro avec PL O(r) croissant arbitrairement lentement,
D'autre part, on à à partir d’une certaine valeur de 7 l’une au moins
des deux inégalités
arti—e) Dre)
> 0 MY On en conclut que le module maximum de la fonction entière, satisfait aux inéoalités on) Lr(i+e) es MDI) À
£e tendant vers zéro avec -.
