QUATRIÈME PARTIE

1. Les résultats qui m'ont permis plus haut d'étudier les fonctions entières découvertes par M. PAINLEVÉ ont une portée générale: on pourra les appliquer à l'étude d’une fonction entière quelconque satisfaisant à une équation différentielle donnée. On ne connaît encore, il est vrai, que très peu d'équations dont les intégrales soient entières. Mais il est probable que les profondes méthodes de M. PAINLEVÉ, appliquées aux ordres supérieures, permettront bientôt d'en former de nouvelles. On saura alors. vraisemblablement étudier leur croissance et évaluer leur ordre de grandeur.

Il est naturel de se demander si, dans les recherches de ce genre, l'hypothèse d'après laquelle l'intégrale étudiée est une fonction entière est une condition indispensable de la précision des résultats. En fait, si l’on est en présence de certaines classes simples d'équations, on saura étudier la croissance de leurs intégrales, sans faire aucune hypothèse sur la nature de ces intégrales. Il convient d'examiner jusqu'où peut conduire une semblable méthode.

Je me bornerai ici aux équations algébriques du premier ordre. Elles ont été étudiées au point de vue de la croissance par M. BorEz, et, après lui, par M. LiNDELÔF.”

! Borer, Mémoire sur les séries divergentes (Ann. Ec. Norm. Sup. 1899). ILan- DELÔF, Bull. de la Soc. math. de France 1890.

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Considérons une intégrale réelle que nous supposons continue lorsque x est réel et varie de © à + ©. M. Borez a démontré que l'intégrale

y est à partir d'une certaine valeur de x, inférieure à e° . Précisant ce résultat, M. JLanperdr désigne par » le degré de l'équation par rapport à æ, et il montre que l’on a, à partir d’une valeur x, de x

FE

C' étant une constante finie.

Il pourra arriver cependant que |[y| reste très inférieur à cette limite, comme le montre la proposition suivante à laquelle est parvenu M. TiNDELÔF:

Ou bien l'intégrale y est du type exponentiel et reste comparable à une € . .

fonction croissante de la forme e* (c nombre fini); ou bien y reste compris,

à partir d'une certaine valeur de x entre e7* et e* , quelque petit que soit &.

Les recherches de M. LiNbELÜF nous ont ainsi révélé l'existence de deux types d’intégrales fort différents. Mais elles ne nous ont pas appris à reconnaitre si une équation donnée admet des intégrales de l’un ou de l’autre type. D'autre part la méthode de M. LiNDELÔF qui repose sur une application du théorème de RoLLE suppose x réel. Elle exige de plus que y soit continu sur tout l'axe réel: or nous ne savons pas reconnaitre, a priori, si cette condition est réalisée, et l'étude de la croissance de y devrait précisément avoir pour premier but de nous renseigner sur ce point.

C'est pourquoi je n'ai pas cru inutile de revenir sur le même problème, en prenant pour point de comparaison la théorie des fonctions entières. On va voir que le problème comporte une solution assez précise.

2. Les résultats obtenus dans la seconde partie de ce travail nous montrent immédiatement quelle doit être la forme d'une équation algébrique du premier ordre pour qu'elle puisse admettre une ou plusieurs intégrales entières (de genre fini). Il faut que cette équation contienne plusieurs termes de degré supérieur par rapport à y et y’. En effet, lorsque le terme de plus haut degré en y et y’ est unique, il suffit de se reporter aux inégalités du $ 13 de la seconde partie, pour voir qu'il ne pourrait être détruit par aucun autre, si y était une fonction entière. Dans

ce cas, si y est une fonction uniforme ayant une singularité essentielle à

l'infini, elle sera nécessairement, au voisinage de cette singularité, une foncton méromorphe semblable à celles que j'ai étudiées dans la seconde partie de ce travail; elle restera comparable, (si l’on exclut du champ de la variable le voisinage immédiat de ses pôles) à une puissance finie de x.

Nous sommes ainsi conduits à répartir lés équations algébriques entre deux classes, suivant qu'elles contiennent ou ne contiennent pas deux ou plusieurs termes de degré supérieur par rapport à y et à y’. Cette distinetion va nous permettre de compléter les résultats de M. LiNDELôF.

3. Considérons, pour commencer, une équation résolue par rapport à y’ te) ) j0 )

P et Q étant des polynômes en x et y.

Je dis que si cette équation est de la seconde classe, toutes ses intégrales appartiennent au second type signalé par M. LixpeLôr. Plus précisément, si l’on suppose encore que l'intégrale y est réelle, continue et croissante sur l'axe réel, cette intégrale croîtra moins vile qu'une puissance finie de la variable x.

I suffit, pour le vérifier, de reprendre le raisonnement employé par M. Borez dans son mémoire Swr les séries divergentes, en y apportant une légère modification.

y étant une fonction quelconque de £ satisfaisant aux conditions qui viennent d’étre énoncées, M. BorEz à montré que si l’on ne peut pas trouver de nombre &, tel que l’on ait, pour £> 6

DESNE

il existe sûrement des valeurs indéfiniment croissantes de £ pour lesquelles on a à la fois # 0 I £ Y AC ; ( > 50 y.

De plus, parmi ces valeurs, il en est d'aussi grandes que l’on veut pour lesquelles on a, en même temps que les inégalités précédentes, l'inégalité

DE ae

Il est clair que ces résultats subsistent si l’on remplace £ par la fonction croissante de x loglogw(x). Supposons alors que w(x) croisse moins vite

122 P. Boutroux.

. . . + , qu'une puissance ! finie de æ. Nous pouvons affirmer que si l'on n'a pas, à partir d’une certaine valeur de x, l’inégalité

on aura simultanément, pour des valeurs «, de x indéfiniment croissantes

dy __ dy gx) 26! sy — :

y > p(x), dE Ce ne = (s, positif fini) et A , TR +

Ces inégalités limitent la croissance de l'intégrale y. Désignons en particulier par # un nombre supérieur aux degrés par rapport à æ des polynômes P et Q. Nous constatons que &(x) sera nécessairement inférieur à æ” si la différence des degrés p et q de P et de Q par rapport à y n'est pas égale à l'unité.

En effet, s’il n’en était pas ainsi, tous les termes de l'équation (1) seraient, pour æ — %,, négligeables par rapport au terme en y? ou au terme en yy’: le premier membre de l'équation ne pourrait donc s’annuler.

Ainsi, si p—q est diffèrent de 1, comme nous le supposons ici, on aura, à partir d’une certaine valeur de x

Le résultat serait le même si l'équation étudiée n’était pas résolue par rapport à y': soit dans ce cas

le terme de degré supérieur en y et y’, terme qui est supposé unique: si l'on avait par l'inégalité (2), ce terme ne pourrait être détruit par aucun autre (pour certaines valeurs %

Aer me

1 À . . vs . Je suppose qu’il existe des nombres s,s, tels que les rapports — et e soient TE |

LA F : ë L $ S croissants à partir d’une certaine valeur de . On a alors -! AE CE æ œ

Considérons maintenant le cas où p—g—1. L'équation (1) prend alors la forme

(3) HR Ole I) =, Fi + 09 les a et les b étant des polynômes en #.

Deux cas sont encore à distinguer suivant que le degré de 4, est supérieur, où au contraire inférieur ou égal à celui de b,. ,, l'intégrale y (supposée réelle, continue et croissante) satisfait, à partir d'une certaine valeur de x à

Lorsque le degré de a, est supérieur à celui de b

l'inégalité (2). En effet, s’il n'en était pas ainsi, on aurait pour certaines raleurs de æ

Nr h Lau

y>æx" (m arbitraire grand) et y > (2 positif fini),

! de l'équation (3) ne pourrait alors être détruit par

ët le terme a,y y?

aucun autre.

Ainsi se trouvent définies deux classes d'équations (1), dont les intéerales satisfont, à partir d’une certaine valeur de æ#, à l'inégalité (2). On voit que ces intégrales ne peuvent pas croître comme des exponentielles, mais restent comparables à une puissance finie de la variable x. Elles appartiennent au second type signalé par M. LiNDELÔF.

Lorsque y est complexe, on doit former les équations auxquelles satisfont sa partie réelle d’une part, sa partie imaginaire d'autre part, et étudier ces équations séparément. Mais pour parvenir à des résultats pratiquement utilisables, il faudrait savoir déterminer les lignes sur lesquelles le module de y est croissant. Or cette détermination semble présenter de

orandes difficultés.

4. Si nous considérons au contraire les équations (3) pour lesquelles le degré de a, est inférieur ou égal à celui de b,, nous pourrons faire une étude descriptive assez précise de leurs intégrales. On peut observer que dans le cas où nous nous plaçons (p—q — 1), les intégrales de l'équation (1) sont à un certain point de vue comparables à des fonctions entières. Ces intégrales ne peuvent en effet devenir infinies en aucun point non singulier essentiel. Supposons en effet que 7 devienne infini comme #” (m > 0). On aurait au voisinage du point singulier

Lu"

PILE 10 (c fini),

124 k P. Boutroux.

inégalité que ne peut vérifier aucune intégrale de (1) en un point non singulier pour les coefficients. Nous allons voir se poursuivre l’analogie entre les fonctions entières et les intégrales des équations (3) considérées, en étudiant la croissance du module [y] lorsque x approche du point singulier transcendant situé à l'infini.