Posons
et faisons
Nous supposerons que le depré de b, surpasse celui de «4, de y unités. Plaçons-nous en dehors d'un cercle contenant les zéros de db, et ceux de
&. Sur une infinité de rayons À issus de l'origine et situés dans y + 1
Pa
angles égaux à (1 — a) (« étant un nombre positif fini, arbitrairement
nee li
- à LT] : DE :
petit), « est comparable à el, % étant un nombre positif fini.
D'autre part, on a
(4) AA b, +... + bu Pol t — (aie +... + ap au? 2vP T1) — ee ; QU AN RTS, 'UME
Cherchons une limite supérieure du module [v’| sur un rayon À. ! Désignons dans ce but par o un nombre supérieur aux déorés de tous les polynômes &. Si l’on a, à partir d'une certaine valeur de [x|
(5) Quol > Afxl,
h étant un nombre fixe, tous les termes du dénominateur s'effaceront devant le dernier, lorsque [x]. croîtra; en particulier, si [æ| dépasse un certain nombre 7,, ce dénominateur sera, en module, supérieur à
h|a,u?vr (4, positif fini).
: verse, 6 Je me contente de dire que les nombres 6, 6, , 6, sont finis, n'ayant pas besoin de plus de précision. Mais on pourrait facilement les calculer. Ainsi, désignons par
Tr et 7, les degrés de a,1 et de b,1. « est le plus grand des nombres +, et Lu
Sur quelques propriétés des fonctions entiéres. 125 D'autre part le module du numérateur de v' est inférieur à
MIE 1 le HE (h, et o, nombres finis).
On a, par suite sur le rayon À considéré (6) [o'| < À, ce (k,, &, positifs finis).
Posons alors [x|= 7, et soit v, la valeur que prend v (sur le rayon
R) au point de module 7,. Nous pouvons, avons-nous dit, trouver un nombre positif Æ tel que l’on ait, sur le rayon À considéré (pour r > r,)
Sant
Are"
Nous aurons évidemment à partir d’une certaine valeur de r
À [ou — v,| < Nr To
k, étant un nombre positif inférieur à X.
Il en résulte que” l'ufire (c inférieur à un nombre fixe) et TEL DEEE Si donc la valeur initiale [v,| satisfait à l'inégalité L+1 3 ; —k;r (7) [et
la valeur de [vw] en x sera elle-même finie et supérieure à €,.
Pour parvenir à ce résultat, nous avons dû supposer que l'inégalité (5) était vérifiée pour r >7r,. Cette supposition est sans conséquences si l'inégalité (7) est satisfaite au point æ,. Imaginons en effet que l'inégalité
1 On a en effet
+1 +1 feu ra JC +Dkirkeshr .
ro 0
a+1 +1 < e—hro 2. er} À
26 P. Boutroux.
(5) vérifiée pour r, <r<r, cesse de l'être au point r,: il faudra que 1È
cesse elle-même d'être satisfaite en un point 7, situé entre 7», eb 7,: conclusion absurde, puisque nous avons démontré que l'inégalité (5) satisfaite pour », <r <r, entraine l'inégalité (8) dans tout l'intervalle 7,r,.
Nous constatons ainsi que l'inégalité (7) entraîne l'inégalité (8) le long du rayon R. Il en serait évidemment de même le long d'une droite quelconque sur laquelle [x] croit comme yr (7 fini), et, par suite, dans tout l'angle À ayant pour sommet l’origine dans lequel on a
[ul > er
Dans tout cet angle (pour |x|> 7r,), y ne présente ni zéros mi pôles,
et l'on a
[ul = 4 À étant compris entre deux nombres positifs fires.
On peut interpréter comme 1l suit ce résultat: il est possible de mettre l’intéorale y de l'équation (3) sous la forme
(9) y = Cu + g(x, C),
C' étant une constante arbitraire, de telle façon que le second terme de l'égalité (9) s'efface devant le premier dans l’angle À, à moins que C n’approche de la valeur particulière 2670. Ou est alors une valeur principale de y dans l'angle À.
On obtiendrait les mêmes résultats dans les # + 1 angles où le mo-
: ; x L Us dule de « est croissant. Supposons en particulier que le quotient — se a D
réduise à une constante. C’est alors dans tout un demi-plan que [y| serait comparable à el, (1 > o).
6. Pour parvenir à ce résultat, il n'est pas nécessaire de supposer
272 è ü Ahee que dans l'équation (3) les fonctions de x, 4,,4,,...,b,,b,,... sont des polynômes. Supposons que sur un rayon /? issu de l'origine, tous les & et b soient à partir d'une certaine valeur r, de » inférieurs à une puis-
sance finie de #,r CU A
; Supposons de plus que sur ce rayon, l'on ait, pour
+ [ul > e" a
et lul<re|ul,
k et o étant des nombres positifs finis. Tous les résultats du paragraphe £ paragrar
précédent s’appliqueront sur le rayon À au produit y — ww.
Lès fonctions 4, &,...,0,,
tions méromorphes semblables à celles que j'ai étudiées dans la seconde
b, pourront être par exemple, des fonc-
partie de ce travail, ou des fonctions algébriques. La méthode précédente permettra d'étudier tous ces cas en détail, quoique leur diversité nous empêche d'énoncer à leur sujet des propositions générales.
7. L'étude des intégrales de l'équation (3) conduit donc, au point de vue de la croissance, à des résultats particulièrement intéressants. Dans les # + 1 angles définis plus haut, nous savons évaluer le module d’une intégrale: ce module croit comme celui d’une fonction entière de genre fini.
Les résultats précédents permettront encore d'étudier l'équation (1), dans le cas considéré au $ 4, où elle contient un seul terme de degré supérieur par rapport à y et y. Désignons en effet par € une intégrale particulière de l'équation (1), et posons
Deere:
La fonction Ÿ satisfera à une équation de la forme (3). Pour s’en rendre compte, il suffirait de remarquer qu'une intégrale y, différente de &, ne peut être égale à € en aucun point non transcendant pour l'équation; dans le cas contraire, en effet, on aurait en même temps, y'— 6”, et les deux intégrales coïncideraient dans tout le plan. La fonction Y ne présente donc, en dehors des points singuliers transcendants de l'équation, aucune singularité polaire. ŒElle est de même nature que celle qui a été étudiée dans les paragraphes précédents.
Supposons en particulier que l'équation (1) admette une integrale rationnelle qui sera celle que nous appelons &. Dans l’équation (3) à laquelle ARTE EN et l’on pourra appliquer à la fonction Y les résultats du $ 5 si le degré
satisfait Ÿ, les fonctions &, , & . seront alors des polynômes,
de a, est inférieur ou égal à celui de b,. Nous constatons alors que dans les y + 1 angles définis plus haut, l'intégrale générale y se rapproche indéfiniment, lorsque |æx| croît, de l'intégrale rationnelle €. La différence y — €
