CONVERGENCE ABSOLUE

C’est un fait bien connu (Norlund [1], p. 108) que les séries d’interpolation peuvent converger dans un domaine à deux dimensions, sans y converger absolument, ce qui ne se présente pas pour les séries de Taylor (séries d’interpolation pour lesquelles À; — 0). Pour mettre ces faits en évidence dans le cas général nous allons établir quelques théorèmes analogues à ceux démontrés par Bendixson [2] dans le cas où À,—n. Et d’abord, nous étudierons le comportement asymptotique du polynome P,(z), pour z fixe et » tendant vers l'infini.

Comportement de |P,(3)| quand n >. — Supposons que 3 reste dans un

domaine (D) fermé et borné, laissant à l'extérieur les points A1, 2», ..., À,

naturellement en nombre fini. On pourra prendre, par exemple, pour (D)

l’intérieur du cercle |3|-ZR privé des cercles |3—À;}<9; centrés aux

points À; tels que À;-CR. Déterminons un nombre n, tel que, e étant un nombre

ns bi ; CH RTE à 21?

positif donné à l’avance, on ait les inégalités À, 2R et À,= — pour nn. Alors

ALU

On a donc

l 1 1 L (SE ch Le fee + es MIRE) ES GA CET ‘ | G À ,) P>(3 ) Âns Anti Ân e ee .

« | Pt)

Or, quand 3 reste dans (D), la quantité

be IPai(s)le ne ne

reste comprise entre deux nombres positifs M, et M,, qui ne dépendent que de (D), de e et naturellement de la suite { À, }. On a donc, dans (D),

M,e- O—£S1n) | PA) | <Æ Mserersem