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En particulier P,(z) tend vers l'infini avec x pour 5< 0 et vers zéro pour 5 >0o.

; AU I 11: A nd Dans le cas où la série à 3: converge, on peut améliorer l'inégalité (8) en

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faisant :—0o comme on le voit facilement en modifiant légèrement notre démonstration. Nous allons donner à l'inégalité (8) une autre forme qui nous sera plus commode par la suite.

Soit A(æ) une fonction de x définie pour æ 1 continue croissante et telle que ÀA(n) = À,; posons Hd L (mi

On a, puisque les nombres forment une suite décroissante de nombres positifs, 1(2) SC) LI(R)+ Se Si bien que dans (8)on peut remplacer S(n) par I(2) en modifiant éventuellement les constantes M, et M,. En définitive, on a pour z dans (D)

(9) e-—T—E)lin — | P, ( z) | < M e—5+€)lin),

M constante ©1, ne dépendant que de (D) et de 2. Dans (9) il est possible de faire : — 0 si DE converge. Le comportement asymptotique de P,(z)