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Le domaine de convergence absolue est donc un demi- -plan s > S,. Dans le cas où la série (1) converge absolument en un point de la droite 5 — 8, et où pe ae converge, il y a convergence absolue sur toute la droite 5 —5%$,. Il peut

donc se faire, dans certains cas, que la série (1 ) conérge simplement pour S< 3<€8,. Nous montrerons alors :

THÉORÈME. LA bande de conver gence simple de la série (1) a une largeur maximum 0, égale à l'exposant de convergence de La suite eV" et qui satisfait à la” double inég on

D; et D, étant les densités inférieure et supérieure de la suite À On sait que l’on définit ces densités par

! Met n Dim et D,= lim — À» L ==, DA

En effet, . . série (1) converge pour 3, et si à est l’exposant de convergence de la suite el"), on a

an Pn(&)| <G AOC POUR SE SOUDE (10) | 7 Patz) | < CM? e—Ê+siln,

terme général d’une série convergente, M étant la constante de l'inégalité (9) nant àe

D'autre part, F suite {À,} étant fixée, il est possible de choisir les | ficients a, tels que la série converge pour z — 3, et ne converge pas absolument pour = — z3,+ 0 — 4e quel que soit £ > o. Il suffit pour cela de prendre

anP;(20) EN 1)" een), La série (1) converge pour 3 —3, puisque c’est une série alternée dont la -

valeur absolue du terme général tend vers zéro en décroissant. Or,

| Un ne (3 ) — SE et-0+e)n),

terme général d’une série divergente, d’après la définition de ë.

La première partie du théorème est démontrée. Il reste à prouver les inégalités (10).

Supposons d’abord que D; et D, ne soient ni nuls ni infinis. Il existe un

nombre 2, tel que pourtoutn = n, on ait = < D,+ €. On entire immédiatement I(n) <(D,+e)logn + K,

K étant indépendant de n. L’exposant de convergence de la suite e-"!" est donc

LS Le

——. D'où résulte la première inégalité. Pour démontrer De $

la seconde, il suffit de remarquer qu'à partir d’un certain rang, on a, pour n DERCERDE RE DE Va U

: s Fe / Dans le cas où la suite { À,)\ est mesurable, c’est-à-dire lorsque j, à une

supérieur ou égal à

limite D quand nr + æ, les inégalités (10) nous donnent la valeur exacte de ©. Il en est de mème si l’on a D;—+ (auquel cas 5 —o) ou D,— 0 (auquel cas to) Ans SA = AT, 0 = Ai Se (0 IX NO o, il ne peut pas y avoir de bande de convergence simple. Si À, =(n+1)log(n +1}, D —o, = . Il existe effectivement des séries qui convergent dans tout le plan et ne convergent absolument nulle part (sauf pour z— X;). Prenons par exemple,

a (sac)

Pour : — 5 réel quelconque, P,(z) est réel et garde un signe constant à partir

d’un certain rang puisque 1 — ï est positif pour À, > 6,

log(r +1) 1 [log(nr +1) | log(n +1) |-° | log2 | < IP (21 < M] log2

La série (1) alternée converge quel que soit & puisque la valeur absolue du terme général tend vers zéro en décroissant; d'autre part la série (1) ne peut converger absolument nulle part (sauf pour 3 —;) puisque son terme général Ki

est en 1 | TIQUT à ———— st valeur absolue supérieu False)

terme général d’une série

divergente.

Par contre, si l’on prend la même suite {X,} mais @,— =" 4 k à | | Je (n +2)log(r +2)’ la série (1) qu’on obtient admet pour domaine de convergence simple et absolue le demi-plan 5 © 0, le terme général pour : — 5 étant de signe constant à partir n log!+6 »n (2 = 2 ):

Nous allons montrer maintenant que les inégalités (10) ne peuvent pas être améliorées. D'après sa définition, I(æ) est une fonction croissante dont la dérivée positive continue tend vers zéro en décroissant. De plus, AE CR

Nous ferons la démonstration dans le cas qui présente le plus de difficultés où ACPT) *D=0: D;=

d’un certain rang et de l’ordre de grandeur de

et construirons une fonction satisfaisant à

Hmal(n)=0o

(12) dé limnl(n) =,

et à l’une des trois conditions

.. logz 6 to et À : x logn 3!) & (e] Re (137) , ne 1 e logn #. j 8 = D.