CONDITIONS NÉCESSAIRES DE REPRÉSENTATION

Soit une série (1) qui converge pour R(z)—5s >S. La convergence de la - série étant uniforme dans tout domaine fermé, borné, complètement intérieur au demi-plan de convergence 5 © 8, la série (1) représente une fonction F(z) holomorphe pour 5 > S. Nous allons voir en outre que la croissance de F(z), quand z tend vers l'infini dans le domaine de convergence est limitée par la donnée de la suite {,} et de l’abscisse de convergence. Dans le Chapitre suivant, nous donnerons des conditions suffisantes pour qu’une fonction F(3) soit représentée par sa série d’interpolation. Les conditions nécessaires et suffisantes que nous donnerons ne sont pas absolument identiques, mais s’écartent peu les unes des autres, si bien que l’on délimite ainsi avec une assez grande précision l’ensemble des fonctions F(z) représentables par les séries (1). Dans cette étude, nous introduirons une fonction D(r, 0) définie

[pour ro el << que nous appellerons la fonction indicatrice de la suite } À, } et qui jouera un grand rôle dans les inégalités que nous établirons. Étude du maximum de |P,(z)| pour 3 fixe, n variable. — Supposons la

ee HT De à ; Pen série De divergente. Nous désignerons par À(æ) une fonction définie pour y

æ>=1, admettant une dérivée positive, continue, telle que A(n)— À,. Nous désignerons par æ(À) la fonction inverse de la précédente, définie pour = A. Soit enfin 16} rh I(x) = SE J, (x) Les résultats que l’on obtient sont très différents suivant que R(:)=— 5 est soit négative ou nulle, soit positive. En effet, si l’on ac <o, chaque facteur

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de P,(3) a un module supérieur à 1. Si oo, [P,(z)| tend vers l'infini,

| HAN dans ces conditions, on a l'inégalité | 1— — Er, — — RES <o)et que la

série >x x, 6st supposée divergente.

Lorsque o — o le module de P,(z) est une fonction croissante de n qui a une limite finie ou infinie quand x tend vers l'infini, suivant que la série >

converge ou non. En effet, dans ces conditions, on à

Considérons, enfin, le cas où sest positif et posons

PET GOUT (r>o101<5).

3 r Les nombres = ont pour argument 6 et pour module 7 avec “IL 7 N

RC ln = —o:

n='20 Ân

rp r 3 . if lant que 7 >200s0 on a h=éler mais pour 5 < 26050 on à

Li — Lies Le module de P,(z) est donc maximum pour l'indice » tel que

= Oicos

$ ie COS À A+

En utilisant la fonction continue À(æ) définie plus haut, on voit que la