PAS

Loge

En intégrant par parties et en remarquant que par définition y(£)—o, on

AL s ÀA(æ

obtient une nouvelle expression de cette intégrale où l’on peut prendre u — 2 pour nouvelle variable, ce que conduit aux importantes inégalités

À foi Pe(s)1—@(, D) <o, | |

(20) — log avec

u(u?— ou cos0 +1)”

d * °c s0Û = n d D(r, = (1— ucos0)z(ru) du A

valables pour

F2: cos0, [01

DA

Nous allons calculer effectivement les fonctions D(r, 0) correspondant à quelques suites {X, |.

SiA,= n°(0 <p-C1) on peut prendre À(æ) égale à æ’ et l’on a

EL 1 pecos0 nt, ®(r, = f uP (1 ucos() du

=> uU COS 0 EE

expression que l’on peut calculer lorsque p est rationnel. Le calcul pour p irrationnel s’obtiendrait alors par passage à la limite.

Exemple. — 1° À,=— n.

Dr, 0) — r[cos0 log(2 cos0) + 0 sin0] — e(r, 0), Er, 0) 24 pour dr 0,

M. Norlund [1] pour la même distribution { x, } et en utilisant une méthode différente basée sur l'étude de la fontion eulérienne F(3) a donné une majoration de log|P:(2)| un peu plus précise puisqu'on l’obtient en remplaçant

er, 0)-par “logr. Notre méthode a cependant l'avantage de permettre de

ramener la détermination de l'indicatrice D(r, 0) dans les cas les plus généraux au calcul d’une seule intégrale, la différence entre la borne inférieure de

log|P:(2)| et la borne supérieure trouvées n’étant que de l’ordre de log

29 Àn —— VA.

Dr, 0) =7r? | 00520 log(2 cos0) + 0 sin20 — | — e(r, Ô), ;

oZeE(r, 0) Lo pour rx,

Remarquons que lorsque À,—=n la quantité D(r, 0) reste bornée quand,

sn Q c T., © à r restant constant, 0 tend vers + 53 alors qu’il n’en est plus de mème dans

27 Mt le second exemple. Nous verrons plus loin de ce phénoméne est lié à la nature

Te ENURT de la série > Lee À;

El I Enfin, nos méthodes restent valables dans le cas où la série 2% converge,

à condition, lorsque cos® est négatif ou nul, de remplacer ae l'expression de D(r, 0) la limite supérieure d'intégration par +- 2. Ainsi lorsqu'onaÀ,—n?, on à, pour cos) = 0

(] 2 2 DR ONET: [cos 2 log Vc0s0 1/9 cos) + 2 sin nl sin > | — e(r, 0), 2 \ da

Dress EURO) 27 Pour Are,

et, pour cosÿ 0

®(r, 0)—7r*rsin

A —e(r, 0), PAPE (TAOVESS pour Tr 2,

Cés fonctions avaient également été calculées par M. Dora [1] au moyen

de la fonction l'(z).

D'une façon générale, dans le cas où À,— n°(p > o) on obtient

D(r, 0)=rPd,(0)— sfr, 0), avec à

st cos 9 = 0, 3cosÙ ——1 ë UP (1— ucos0) du SE a —— OS EUT ONE A So):

v(9) / uw —aucos +1 ? EN AUS Se );

si cos QZoetp>1

DUT é ee té CU COSNTue Se Ne ER (HD)

— aucosÙ +1

En effet, pourr -20ona

EME 3pP À re 7 @ JE D e(7300) TE te a À È ae (rS2), 4 9 0 u?— au cos +r Ap si cos —0

puisque dans les conditions indiquées on a

GB} 1) o<C1—ucos0.<1 pour cos) >, 11 — Ucos0 LE — pour cos <o, et d'autre part à ee u? — ou cos +1 = sin?0 2 si cos0 = -, 5 I : 1 u?—Qucos8+1> > — cos0 > + si cos > —»

u?—aucosû +11 si cosô.“o

a Te, , ; ne ET * 6 ts Enfin, toujours dans le cas où la série pare converge, P,(z3) définit une ; |

fonction entière de 3 que nous désignerons par E(z) et la même méthode nous

montre par un calcul simple que pour 0] r on à

— log

e E[2loglE(s)1— 17, 0) <o,

avec

+ AT RE (= ucos0) (ru) du H(r, = f u(u?— au cos0 +r)

Pour (01 2< = la fonction E(z) s'annule pour z = À; et, pour o 4.<|0 [<= on à

2 log sino — log | 1 — É|<loglE(a) |— H(r, 0) 2Z— 9 logsino.,

En particulier, si À,=n(p 1) le terme principal de H(r, 0) c'est-

NE ?(1— ucos0) (ru du s 2 à-dire ce (he FR ARTe D se calcule par la méthode des résidus et donne , u(u—oucosû +1

log|E(z)| « r? & cos (T2), CS idee NAT P ip

On en déduit, en particulier, que les fonctions E(z) sont d'ordre = et de

type ——, résultat qui est d’ailleurs bien connu. TE

Sin

Étude de la fonction ®(r, 0). — Nous avons défini la fonction indicatrice Dr, 0) pour r > 7(8), r(0) étant le plus grand des deux nombres o et 2 4 COSÙ

Re 1 ‘ quand la série > 3, St convergente; on pourra convenir de prendre D(r,0)— o

pour or<r(0) puisque alors log|P,,(3)| est négatif où nul quel que soit m. D'après sa construction même, d(r, 0), fonction continue de r et 0 prenant la même valeur pour deux valeurs opposées de 0(— 707) est, à 0 constant, une fonction croissante de ret, à r constant, une fonction croissante

de [6 |.

Quand la série De diverge, la fonction ®(r, Ô) n’est définie que pour | << =

etr>o [on prendra D(r, 0) = 0 pour r 2), cosÜ]. C’est encore une fonction paire de 0, continue par rapport aux deux variables r et 6.

À 0 constant, D(r, 0) est fonction croissante de r. À r constant, D(r, 0) est fonction croissante de [0 |.

cc Tan

Quand, à r constant, 0 tend vers

&- la fonction D(r, 0) tend vers une limite

finie ou infinie, suivant que la série De converge ou os Cela résulte y f

de l'étude des polynomes P,Çs)pour|z/=7rethim0=# = ou bien de l’expres-

sion même de D(7r, 0), comme nous allons le montrer. Reprenons l'expression de l'indicatrice

[l te O) (1 u cos0)x(ru) du RH u(u?— au cos0 F1) |

Quand 6 tend vers + = l'existence de la limite de D(r, 0) est liée à l'existence

me EAU AN EURE s A È de l'intégrale f see puisque dans l'intervalle d'intégration on a